19166：正の整数nの各位の数字の和をS(n),S(n)=5のとき,Max{S(n^5)}=?...^^;

だいぶ慣れてきた？ココ ^^

問題19166(友人問)

正の整数nに対して、nの各桁の和をS(n)で表す。S(n)=5のとき

S(n^5)としてありうる最大の値を求めよ。

解答

こりゃ無理だべ...^^;

S(5^5)=S(3125)=11

S(11111^5)=S(169342410709747836551)=92

S(101111^5)=S(10567981106529927716286551)=155

S(1001111^5)=S(1005567356930925744317400786551)=128

so...

S(101010101^5)

=S(10515357122875823688468225686217035150501)

=164

これらの数字の和はすべて11

so...

多分これだろうけど...証明じゃない ^^;

調べてみたら...もっと大きくできるのねぇ!!

https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1045139885 より 引用 Orz〜

「mad********様のもの Orz〜

n=10^a+10^b+10^c+10^d+10^eとおいて5乗して展開します. 
各項の係数を求め,各位の和に直して足します. 

10^5a型 係数1より各位の和1 5通り 
10^(4a+b)型 係数5より各位の和5 20通り 
10^(3a+2b)型 係数10より各位の和1 20通り 
10^(3a+b+c)型 係数20より各位の和2 30通り 
10^(2a+2b+c)型 係数30より各位の和3 30通り 
10^(2a+b+c+d)型 係数60より各位の和6 20通り 
10^(a+b+c+d+e)型 係数120より各位の和3 1通り 

これを係数のまま計算すると 
1*5+5*20+10*20+20*30+30*30+60*20+120*1=3125 
求めるのは各位の和なので 
1*5+5*20+1*20+2*30+3*30+6*20+3*1=398 
よって求める答えは398以下である.

tia********様のもの Orz〜

ちなみに計算結果は少なくとも
n=1000000000000001000000000110000001
で
S(n^5)=398
となりました。」

*鮮やかなものねぇ☆

これで、数字が重なることがないようにa,b,c,d,eを決めればいいわけね ^^

but...

実際に計算してみると...

1000000000000001000000000110000001^5

=(1000000000000001000000000110000001)^2*(1000000000000001000000000110000001)^3

=100000000000000200000000022000100200000022000000201200000220000001*100000000000000300000000033000300300000066000100603630033066000303900000661331003036300000330000001

=

S(1000000000000001000000000110000001^5)=1+5+5+5+1+5+2+2+1+2+1+2+9+3+3+4+1+8+5+3+3+8+1+4+2+2+1+8+5+6+2+7+6+4+4+7+4+4+3+3+7+4+4+8+5+6+3+1+2+3+5+6+4+1+1+7+3+3+9+9+3+5+6+4+3+8+8+1+6+6+3+2+3+3+2+8+7+3+9+8+3+6+7+7+5+6+3+8+1+4+1+7+7+1+3+3+3+1+1+5+5+1=429

になっちゃうんだけど...?

↑

どこかおかしいようです ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

どこで計算の誤りが発生しているかはわかりませんが，
S(10…010…010…010…01^5)が429になることは絶対にありません．
xとS(x)は9で割った余りが一致し，S(n)=5のとき，nは9で割って5余るので，
n^5は9で割った余りが5^5=3125と同じであるはずで，
S(n^5)は9で割って2余ります．

nとして，数字1が5つあり，他の数字はすべて0であり，
1と1の間隔が，互いに大きく異なるような数を選べば，
具体的な計算をやるまでもなく，S(n^5)は398になります．
例えば，nを
1[10個の0]1[100個の0]1[1000個の0]1[10000個の0]1
とすれば，S(n^5)=398です． 

nに登場する1を，かけ離れた位置にとればよいだけです．
例えば，n=10^1+10^10+10^100+10^1000+10^10000とすれば，
n^5=
1*(10^5+10^50+10^500+10^5000+10^50000)
+5*(10^14+10^41+10^104+10^401+10^140+10^410+…+10^14000+10^41000)
+10*(10^23+10^32+…+10^23000+10^32000)
+20*(10^113+10^131+10^311+…+10^31100)
+30*(10^122+10^212+…+10^22100)
+60*(10^1112+10^1121+…+10^21110)
+120*(10^11111)
となり，実際に，計算結果には，「1」が5箇所，「5」が20箇所，
「10」が20箇所，「20」が30箇所，「30」が30箇所，
「60」が20箇所，「120」が1箇所現れます．

*最初の式で全ての場合が表されることに気づけませんでしたわ ^^;...

なるほどの問題でした ♪

[スモークマン]

＞6:38pmの鍵コメT様へ ^^
どこかがおかしいのですよねぇ ^^;
桁をそのように取ればいいことすぐわからねど...^^;;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

[スモークマン]

＞2:44amの鍵コメT様へ ^^
なるほどぉ☆
意味がわかりました ^^;v
最初の発想がキーでしたか!!
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v