19169：8の倍数 8,16,24,32,...,10000 の中に数字「8」は何個現れる？

問題19169・・・やどかりさんのブログ https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/38996987.html#38996987 より Orz～

　10000以下の正の４の倍数 4，8，12，16，……，10000 を並べると、その中に数字「８」は何個？

　また、８の倍数 8，16，24，32，……，10000 を並べると、その中に数字「８」は何個？

解答

上記サイト https://blogs.yahoo.co.jp/oka_yadokary/39001884.html より Orz～

[解答1]

　４の倍数の場合、

　100以下で８を含むものは 8，28，48，68，80，84，88 で、８は８個、

　1000以下では、下２桁の８が 8･10＝80 個で、百の位の８が 100/4＝25 個ですので 105個、

　10000以下では、下３桁の８が 105･10＝1050 個で、千の位の８が 1000/4＝250 個ですので、

　1300個になります。

　８の倍数の場合、

　1000以下で、一の位が８であるのは、8，48，…… の公差40の等差数列で、1000/40＝25 個、

　十の位が８であるのは、80，280，…… と 88，288，…… と 184，384，…… の

　いずれも公差200の等差数列で、(1000/200)･3＝15 個、

　百の位が８であるのは、800，808，816，……，896 の 13個ですので、

　25＋15＋13＝53 個です。

　10000以下では、下３桁の８が 53･10＝530 個で、千の位の８が 1000/8＝125 個ですので、

　655個になります。

[解答2]

　10000 の代わりに 0 としても、８の個数は変わりません。

　４の倍数については、

　100以下で８を含むものは 8，28，48，68，80，84，88 で、８は８個、

　1000以下では、下２桁の８が 8･10＝80 個で、百の位の８が 100/4＝25 個ですので 105個、

　10000以下では、下３桁の８が 105･10＝1050 個で、千の位の８が 1000/4＝250 個ですので、

　1300個になります。

　４の倍数のうち、例えば、6484と6584 ，8012と8112 ，9828と9928 のような、

　200で割った商が等しく、差が100である２数のペアを考えれば、

　８の倍数と８の倍数＋４のペアで、千，十，一の位の８の個数は同じです。

　百の位の８の数について、n＝0，1，2，……，9 として、

　1000n＋800，1000n＋804，1000n＋808，……，1000n＋892，1000n＋896 は、

　８の倍数から始まって８の倍数で終わるので、８の倍数の方が１個多くなり、

　全体では、８の倍数の方が 10個多くなります。

　８の倍数の８の個数をＮとすれば、N＋(N－10)＝1300 、N＝655 です。　

*最初...800の8が抜けてました ^^;

4の倍数のとき...
(4,8,12,16,20),(24,28,32,36,40),...
8xxx・・・1000/4=250
y8xx・・・y=0～9,xx=100/4=25・・・10*25=250
yy8x・・・y=00～99,x=0,4,8・・・100*3=300
yyy8・・・10000/20=500
so...250+250+300+500=1300 個

8の倍数のとき...
(8,16,24,32,40),(48,56,64,72,80),...
8xxx・・・1000/8=125
y8xx・・・y=0～9,xx=[100/8]+1=13・・・10*13=130
zy8x・・・z=0～9,(y,x)=((0,2,4,6,8),(0,8)),((1,5,9),4),((3,7),8)
so...10*(5*2+3*1+2*1)=150
yyy8・・・10000/40=250
so...125+130+150+250=655 個

*次の問題1301からは...いよいよ新天地で継続される予定ですのね ^^♪