19257：🎊格子点の個数🎊...

問題19257・・・🎊やどかりさんのブログ https://okayadokary.blog.fc2.com/?no=3537#comment 🎊 より Orz〜

　座標が全部整数である点を格子点といいます。

　(1) xy平面において、領域 |x|＋|y|≦25 にある格子点の個数は？

　(2) xyz空間において、領域 |x|＋|y|＋|z|≦25 にある格子点の個数は？

解答

上記サイト https://okayadokary.blog.fc2.com/?no=3540#comment より Orz〜

[解答1]

　ｋを自然数として、|x|＋|y|＝k の格子点は、

　(0，k)，(1，k−1)，(2，k−2)，……，(k−1，1)，(k，0) と、

　その符号を変えたものだから、2＋4(k−1)＋2＝4k 個、

　ｎを自然数として、|x|＋|y|≦n の格子点は、

　|x|＋|y|＝k (k＝1，2，……，n) と (0，0) だから、4･n(n＋1)/2＋1＝2n(n＋1)＋1 個です。

　よって、xy平面において、領域 |x|＋|y|≦25 にある格子点の個数は 2･25･26＋1＝1301 です。

　ｋを自然数として、|x|＋|y|＋|z|＝k の格子点は、

　z≧0 のとき ｚ座標を無視すれば |x|＋|y|≦k の格子点と同じ 2k(k＋1)＋1 個、

　z≦0 のときも同数の 2k(k＋1)＋1 個、z＝0 の場合は重複しており、それは、 

　(0，k，0)，(1，k−1，0)，(2，k−2，0)，……，(k−1，1，0)，(k，0，0) の 4k個、

　よって、2｛2k(k＋1)＋1｝−4k＝4k(k＋1)＋2−4k＝4k2＋2 個、

　ｎを自然数として、|x|＋|y|＋|z|≦n の格子点は、

　|x|＋|y|＋|z|＝k (k＝1，2，……，n) と (0，0，0) だから、

　4･n(n＋1)(2n＋1)/6＋2n＋1＝2n(n＋1)(2n＋1)/3＋2n＋1 個です。

　xyz空間において、領域 |x|＋|y|＋|z|≦25 にある格子点の個数は 2･25･26･51/3＋51＝22151 です。　


[解答2]

　ｎを自然数として、|x|＋|y|≦n のとき、|x|≦n−|y| 、

　これを満たす整数 x は 2(n−|y|)＋1＝(2n＋1)−2|y| 個あって、

　y＝−n から y＝n までを加えると、(2n＋1)(2n＋1)−2･n(n＋1)＝2n(n＋1)＋1 です。

　よって、xy平面において、領域 |x|＋|y|≦25 にある格子点の個数は 2･25･26＋1＝1301 です。

　ｎを自然数として、|x|＋|y|＋|z|≦n のとき、|x|＋|y|≦n−|z| 、

　これを満たす整数 x，y は 2(n−|z|)(n−|z|＋1)＋1＝2n(n＋1)＋1−2(2n＋1)|z|＋2|z|2 個あって、

　z＝−n から z＝n までを加えると、

　2n(n＋1)(2n＋1)＋(2n＋1)−2(2n＋1)･n(n＋1)＋2･n(n＋1)(2n＋1)/3

　 ＝2n(n＋1)(2n＋1)/3＋(2n＋1) です。

　xyz空間において、領域 |x|＋|y|＋|z|≦25 にある格子点の個数は 2･25･26･51/3＋51＝22151 です。　

*なんとか[解答1]のように解けました ^^;v

(1)

(1+2+3+…+24)*4+4*25+1

=24*25*4/2+4*25+1

=1301

 

(2)

2*Σ[k=0〜25](k+1)k*4/2+1

=2*(25*(25+1)*(2*25+1)/3+25*(25+1)+26)

=23452

23452-1301=22151

[スモークマン]

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