19261：各桁の数字がどれも0でない相異なる3桁の正の整数で、各桁の数字を並べ替えてできる6個の数の最大公約数として考えられる値は？

問題19261・・・http://task.naganoblog.jp/c10430_2.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

9の倍数で、相異なる数字の和の最大は18

so...

864を並べ替えれた6個の数は...すべて、9*2=18を約数に持つ...

3桁の公約数はありえないので...

１の位...で、

偶数の場合は2,4,6,8で同じ積(mod 10で)になるものが2個できるものがあるので候補になる...

2*2≡4

2*3≡6

2*4≡8

2*6≡2

2*7≡4

2*8≡6

2*9≡8

4*2≡8

4*3≡2

4*4≡6

4*6≡4

4*7=8

4*8=2

4*9=6

6*2=2

6*3=8

6*4=4

6*6=6

6*8=8

6*9=4

8*2=6

8*3=4

8*4=2

8*6=8

8*7=6

8*8=4

8*9=2

一方、奇数だと...

偶数のような、同じ積(mod 10で)になる2個以上のものがない...

↓

3*2=6

3*3=9

3*4=2

3*5=5

3*6=8

3*7=1

3*8=4

3*9=7

5は5以外出てこない

7*2=4

7*3=1

7*4=8

7*5=5

7*6=2

7*7=9

7*8=6

7*9=3

9*2=8

9*3=7

9*4=6

9*5=5

9*6=4

9*7=3

9*8=2

9*9=1

so...偶数2,4,6,8からなるものまでは言えたけど...

ここから、2*9=18が最大であることはどう言えばいいのかわからない...^^;

・鍵コメT様からの上手い解法 Orz〜☆

例えば数字4,6が含まれている場合，
並べ替えてできる2数には，[?46]と[?64](?は0,4,6以外の数字)が含まれ，
この2数の差は18だから，最大公約数は18の約数であり，18以下です．

同様に，含まれる数字の2つについて，差がkであるならば，
題意の最大公約数は9kの約数となります．

最小の数字と2番目の数字の差をa,2番目の数字と最大の数字の差をbとして，
題意の最大公約数は9a,9bの公約数であり，「a,bの公約数の9倍以下」です．
もし，これが18よりも大きいとすると，a,bの公約数は3以上となって，
a+b≦8であることから，a=b=3,a=b=4のいずれかのはずです．
すると，3つの数字の組合せは{1,4,7},{2,5,8},{3,6,9},{1,5,9}に限られます．
{1,4,7},{2,5,8},{1,5,9}については，数字の和が9の倍数でないので，
題意の最大公約数は9で割り切れず，a,bの公約数の3倍以下となって不適．
{3,6,9}については，369=(3^2)*41が27では割り切れないことから，
題意の最大公約数は9となって不適．

以上より，題意の最大公約数が18より大きくはならないことがわかります．

上の「a+b≦8」の部分がすぐにわからなかったわたしでしたが...^^;

a,bは，「最小の数字と2番目の数字の差」，「2番目の数字と最大の数字の差」

なので，a+bは，「最小の数字と最大の数字の差」であり，最大でも8です．
a,bの公約数が3以上であれば，a=b=3,a=b=4しかあり得ませんね．

*1<=m<m'<M<=9 から...a+b=(m'-m)+(M-m')=M-m<=9-1=8 

ってことなのねぇ ^^;v

上手すぎ ^^;♪

[スモークマン]

＞2:42amの鍵コメT様へ ^^
なるほど☆
ただ...
>a+b≦8であることから,
のところですが...a,bは91-19=72=9*8から...
a=b=3〜8までの検討が必要ではないのかなぁ...^^;...Orz〜

[スモークマン]

＞8:59pmの鍵コメT様へ ^^
そっか ^^; Orz〜
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v