19310：LCM(a,b)+GCD(a,b)+a+b=ab を満たす正の整数解(a,b)のすべてを見つける...

友人からの手土産や美味し♪

http://www.moratame.net/wp/llabo/kajitsuvitap/ より引用 Orz～

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問題19310(友人問)

次の方程式の正の整数解(a,b)をすべて求めよ。

LCM(a,b)+GCD(a,b)+a+b=ab

ただしa>=b　LCM、GCDは最小公倍数、最大公約数を表す。

解答

・わたしの...

最大公約数 g

a=g*a'

b=g*b'

最小公倍数=g*a'b'

so...

g*a'b'+g+g*a'+g*b'=g^2*a'b'

so...

a'b'+1+a'+b'=g*a'b'

1+1/(a'b')+1/b'+1/a'>=1+1/6+1/2+1/3=2>=g

g=1 は満たさないので...

g=2

so...

a'b'-a'-b'-1=0

(a'-1)(b'-1)=2

a'<=b'

so...

a'-1=1・・・a'=2

b'-1=2・・・b'=3

so...

(a,b)=(4,6)

実際に...

12+2+4+6=24=4*6

^^

↑

未熟でした ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

a',b'が見にくいのでA,Bで書かせていただきます．

「最大公約数がgで，a=gA,b=gBとすると，
gAB+g+gA+gB=(g^2)AB.
AB+1+A+B=gAB.」
まではよいと思いますが，1≦B≦Aであり，等号の成立はあり得るので，
「g=1+1/(AB)+1/B+1/A≦1+1/6+1/2+1/3」は言えませんね．
g=1+1/(AB)+1/B+1/A≦4であり，g=2,3,4を調べることになります．

g=2のとき，AB-A-B-1=0つまり(A-1)(B-1)=2から，(A,B)=(3,2).
g=3のとき，2AB-A-B-1=0つまり(2A-1)(2B-1)=3から，(A,B)=(2,1).
g=4のとき，3AB-A-B-1=0つまり(3A-1)(3B-1)=4から，(A,B)=(1,1).
まとめて，(a,b)，すなわち(gA,gB)は，(6,4),(6,3),(4,4)があり得ます．

*確かにそうでしたわ ^^;v