19325：楕円x^2+y^2/6^2=1の外の点A(-2,0)から楕円に交わる直線を引きその交点P,Q.と点B(1.0)でできる△PBQの最大値は？

問題19325(wkf*h0*6様提示問 Orz〜)

楕円　x^2/1^2 + y^2/6^2 = 1　外の１点Ａ(-2,0)から楕円と2点P,Q

で交わる直線y = m*(x + 2) 　　　を引く。

このとき、点B(1,0)を頂点とする△PBQの面積の最大値を求めよ。

解答

・わたしの...

x^2+y^2=1

y=m(x+2)

(1,0)

P(px,qx)

Q(qx.qy)

△PBQ=(3/2)*(qy-py)

x=y/m-2

(y/m-2)^2+y^2=1

(1/m^2+1)y^2-(4/m)y+3=0

py+qy=(4/m)/(1/m^2+1)

py*qy=3/(1/m^2+1)

(qy-py)^2=(qy+py)^2-4py*qy

              =((4/m)/(1/m^2+1))^2-12/(1/m^2+1)

              =-4m^2(3m^2-1)/(m^2+1)^2

(-4m^2(3m^2-1)/(m^2+1)^2)'=8m(1-7m^2)/(m^2+1)^3

so...

m=±1/√7

m=1/√7

y=1/√7(x+2)

(1/7+1)y^2-4√7*y+3=0

y=(√7/4)(7-√43),(√7/4)(7+√43)

so...

(3/2)(√7*√43/2)

=3√301/4

so...

実際は、この6倍なので...

9√301/2=78.072...

がMaxのはずね ^^

計算面倒...^^;;

↑

嘘でしたわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのスマートな解法 Orz〜☆

「円x^2+y^2=1外の1点A(-2,0)から円と2点P,Qで交わる直線Lを引く．
B(1,0)として，三角形PBQの面積の最大値を求めよ．」(*)
の答えの6倍が結論となります．まず，こちらの問いを考察します．

原点をOとして，LにO,Bから垂線OH,BIを引くと，
△AOH∽△ABIとなり，相似比はAO:AB=2:3です．
よって，BI=(3/2)OHであり，△PBQ=(3/2)△OPQとなります．
ここで，三角形OPQにおいてOP=OQ=1だから，
△OPQは，∠POQ=90°のときに最大値1/2をとり，
すると，△PBQの最大値は3/4と確定します．

以上により，(*)の結論は3/4となるので，
元の問題の答えは(3/4)*6=9/2だと思います．

*なるほどでっす ^^♪

わたしゃ...高さ(qy-py)に底辺3をかけて直接求めるという荒技だったわけですが...^^;

それでも求まるはずなのに...どこかミスったに違いないと思いたい...^^;;...

・ありがたいことに...鍵コメT様が確認くださいました♪

スモークマンさんの解を調べてみました．

「P(px,qx)」は多分「P(px,py)」でしょうね．
以下，(qy-py)^2=-4(m^2)(3m^2-1)/(m^2+1)^2まで正しいと思います．
ただし，この計算(あるいはもう少し前の段階)では，
m^2かm^2+1を別の文字(例えばt)に置き換える方が得だと思います．
そうすれば，実は微分を用いる必要もありません．

m^2+1=tとおくと，1≦t<4/3であり，
(qy-py)^2=-4(t-1)(3t-4)/(t^2)=-12+28/t-16/(t^2)
=-16(1/t-7/8)^2+1/4
となるから，qy-pyは，t=8/7，すなわち m=±1/√7で最大で，
qy-pyの最大値は1/2となって，置き換えた問題の結論「△PBQ=3/4」を得ます．

*結構すっきりと解けるのでしたか ^^;v 〜m(_ _)m〜v

[スモークマン]

＞10:37pmの鍵コメT様へ ^^
そっか!!
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

[スモークマン]

＞4:20pmの鍵コメT様へ ^^
あっ...わざわざ考えてくださってありがとうございます♪
なるほど...どんどん置き換えて計算を簡明にしていくべきでしたのね ^^
グラッチェ☆
追記させていただきまっす〜m(_ _)m〜v