19337：a(1)=1,a(k+1)=a(k)^2+1 の中に素数pの倍数があるような素数pは無数にある...

問題19337・・・http://task.naganoblog.jp/c56195.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

a(1)=1

a(2)=2

so...

a(4)=(2^2+1)+1・・・2の倍数

つまり...

a(k)がpの倍数なら...a(k+p)もpの倍数ね ^^

↑

意味も掴めてなかったし...無茶苦茶でした ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

a[4]は，(2^2+1)+1ではなく(2^2+1)^2+1です．

例えばa[3]=5ですが，
a[4]=5^2+1 は5で割って1余り，a[5]=a[4]^2+1は5で割って2余り，
a[6]=a[5]^2+1は5の倍数，a[7]=a[6]^2+1は5で割って1余り，
a[8]=a[7]^2+1は5で割って2余ります．
つまり，a[3+5]は5の倍数ではありません．

また，示すべきは，
「a[1],a[2],…の中にpの倍数が無数にあるような素数pがあること」
ではなく，
「a[1],a[2],…の中にpの倍数があるような素数pが無数にあること」
であり，表題は，題意を正しく示していません．

以下のようにできます．

(一)
a[0]=0とする．
このとき，「a[n+1]=a[n]^2+1」はn=0でも成立することに注意する．
a[n] (n=0,1,2,…)をある素数pで割った余りをb[n]とすると，
・b[n+1]は，b[n]^2+1をpで割った余りであり，b[n]によって定まること，
・b[n]のとり得る値は0,1,2,…,p-1のp通りしかないこと
から，b[0]からb[p]までの内に等しい値が出現し，
その後はb[n]は周期的に変化する．

よって，ある自然数mに対してb[m]=0であれば，
b[2m],b[3m],…はすべて0となる．
すなわち，a[m]が素因数pを持てば，a[2m],a[3m],…もすべて素因数pを持つ．

(二)
a[n+1]=a[n]^2+1はa[n]で割って1余るから，a[n]とa[n+1]は互いに素．
さらに，a[n+1]>1 (n=1,2,3,…)であることから，
a[n+1]は，a[n]が持たない素因数を持つ．

(三)
a[2]=2は，素因数2を持つ．p[1]=2とする．
(二)より，a[3]は，p[1]以外の素因数を少なくとも1つ持つ．p[2]とする．
(一)より，a[2*3]は，p[1],p[2]をともに素因数に持つ．
(二)より，a[2*3+1]=p[7]は，p[1],p[2]以外の素因数を持つ．p[3]とする．
(一)より，a[2*3*7]は，p[1],p[2],p[3]をすべて素因数に持つ．
(二)より，a[2*3*7+1]は，p[1],p[2],p[3]以外の素因数を持つ．
以下同様に，
a[n]のある項が持つ素因数p[1],p[2],…を次々に構成することができるから，
題意は示された．

*ここまでのことを言わなければならないとは...^^;...☆

表題も直してみました Orz〜

[スモークマン]

＞3:49pmの鍵コメT様へ ^^
数学の文章ってのはわかりにくいものあるね ^^;
意味は理解できましたけど...^^;;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v