19350：証明...cos(sinx)>sin(cosx)...^^;

アジフライ定食も定番なんだけど...肝心の魚油がないのが物足りない...

不飽和脂肪酸リッチゆえ...痛みやすいからに違いない...^^;...もろ刃の剣...

問題19350・・・出会いの泉 https://6626.teacup.com/shochandas/bbs? 掲示板のようすけ様紹介問 Orz〜

0＜x＜2πで、cos(sinx)とsin(cosx)の大小を比較しなさい。

解答

・上記サイトより Orz〜

・らすかる様のもの Orz〜

{cos(sinx)}^2-{sin(cosx)}^2
={1+cos(2sinx)}/2-{1-cos(2cosx)}/2　（∵半角公式）
={cos(2sinx)+cos(2cosx)}/2
=cos(sinx+cosx)・cos(sinx-cosx)　（∵和積公式）
=cos((√2)sin(x+π/4))・cos((√2)sin(x-π/4))　（∵三角関数の合成）
＞0　（∵|(√2)sin(x±π/4)|≦√2＜π/2）
から|cos(sinx)|＞|sin(cosx)|であり、
cos(sinx)＞0（∵|sinx|≦1＜π/2）からcos(sinx)=|cos(sinx)|なので
cos(sinx)=|cos(sinx)|＞|sin(cosx)|≧sin(cosx)

・DD++様のもの Orz〜

cos(sinx) - sin(cosx)
= sin(π/2-sinx) - sin(cosx)
= 2 cos{π/4-(1/2)sinx+(1/2)cosx} sin{π/4-(1/2)sinx-(1/2)cosx}
= 2 cos{π/4+(√2/2)cos(x+π/4)} sin{π/4-(√2/2)sin(x+π/4)}
> 0
(∵ 0<π/4-√2/2, π/4+√2/2<π/2 より { } 内はいずれも常に第一象限の角)

*わたしにゃ無理だわ...^^;

グラフで他のものも...^^

cos(cosx)>sin(sinx) も言えるようですね ^^