19368：5次多項式...

問題19368(友人問)

f(x)は5次多項式で、5次方程式f(x)+1=0はx=-1を3重根にもち、

f(x)-1=0はx=1を3重根にもつ。f(x)を求めよ。

解答

・わたしの...

f(x)+1=(ax^2+bx+1)(x+1)^3

f(x)-1=(ax^2+cx+1)(x-1)^3

から...

(ax^2+bx+1)(x+1)^3-1-(ax^2+cx+1)(x-1)^3-1=0

x=1...8(a+b)+6=0

x=-1...8(a-c)+6=0

x=2...104a+54b-2c+24=0

a=3/8

b=-9/8

c=9/8

f(x)=((3/8)x^2-(9/8)x+1)(x+1)^3-1

f(x)=(1/8)(3x^5-10x^3+15x)

実際に...

(1/8)(3x^5-10x^3+15x)+1=(1/8)(x+1)^3(3x^2-9x+8)

(1/8)(3x^5-10x^3+15x)-1=(1/8)(x-1)^3(3x^2+9x+8)

↑

もっと楽な方法があるのでした ^^;v

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

正しいと思います．
次の方法も有力です．

f(x)+1は(x+1)^3で割り切れ，f(x)-1は(x-1)^3で割り切れるから，
f'(x)は((x+1)^2)((x-1)^2)で割り切れる4次式．
よって，f'(x)=p(x^2-1)^2=px^4-2px^2+pと表され，
f(x)=(p/5)x^5-(2p/3)x^3+px+qと表される．
f(1)=1より(8p/15)+q=1，f(-1)=-1より-(8p/15)+q=-1だから，p=15/8,q=0.
以上より，f(x)=(3/8)x^5-(5/4)x^3+(15/8)x.

*これはいいですね ^^♪

[スモークマン]

＞0:41pmの鍵コメT様へ ^^
なるほど☆
貴殿の方が楽ですね♪
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v