19376：1～200を任意に半分に分けた時のそれぞれの和の差の2乗の全ての場合の合計は？

関節痛にいいと言われてるザクロジュース...酸っぱくて美味し♪

問題19376・・・http://task.naganoblog.jp/c56195_3.html より引用 Orz～

解答

・わたしの...

1,2,3,4...

1,2-3,4

1,3-2,4

1,4-2,3

(7-3)^2+(6-4)^2=(10-6)^2+(10-8)^2

1～200の総和=201*100=20100

1～100の総和=101*50=5050

so...

(20100-2*5050)=10000

(10000-5050)^2+(10000-5052)^2+...+100^2

4950^2+4948^2+...+100^2

=4*(2475^2+2474^2+...+50^2)

=4*(2475*2476*(2*2475+1)-49*50*99)/6

=20226653700

のはずね ^^

↑

嘘でした ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

(1+2+3+…+100-101-102-…-199-200)^2なら，
1^2～200^2が1つずつ現れ，他に，
・1～100に属する異なる2数a,bについて，+2abがあり，
・1～100に属するaと101～200に属するbについて，-2abがあり，
・101～200に属する異なる2数a,bについて，+2abがある
ことになります．
このとき，例えば1*x (x=2,3,4,…,200) のうち，
99個のxについては+2倍，100個のxについては-2倍となることがわかります．
2*x,3*x,…,200*xについても同様で，同じものを2回ずつかぞえているから，
-2abの形のものが，+2abの形のものより100個だけ多くなることがわかります．

100個を丸で囲む(200C100)通りのどれについても同様であり，
異なる2数の積については，「-2倍」となるものが，
「+2倍」となるものよりも，のべ100(200C100)個多くなります．

どの2数の組合せでも，+,-の個数は同じであることから，
それぞれ，-2倍が100*(200C100)/(200C2)個だけ多いはずです．

1～200のうちの異なる2数の組合せすべてについて，その和をSとすれば，
求める平均は，(1^2+2^2+3^2+…+200^2)-200S/(200C2)となりますね．
S=((1+2+…+200)^2-(1^2+2^2+…+200^2))/2
=((200*201/2)^2-200*201*401/6)/2=200661650
であり，求める平均は，
200*201*401/6-200*200661650/(200*199/2)=670000
となります．

*これは...beyond me...でしたばい...^^;...