19390：場合の数...x,y,zがそれぞれ他の２数の和になる(x,y,z)の組はいくつ？

問題19390・・・やどかりさんのブログ https://okayadokary.blog.fc2.com/?no=3551#comment より Orz〜

  x，y，z がすべて 次の範囲の整数であるとき、(2，3，5)，(3，5，2)，(4，4，8) のように、

 ３数のうちの１つが他の２数の和になるような(x，y，z)は何組？

  (0) 0以上 29以下　 (1) 1以上 30以下　 (2) 2以上 31以下　 (3) 3以上 32以下

解答

上記サイト https://okayadokary.blog.fc2.com/?no=3556#comment より Orz〜

　x＝y＋z の場合は x，y を、y＝z＋x の場合は y，z を、z＝x＋y の場合は z，x を決めます。

　(0) x，y，z がすべて 0以上 29以下の整数の場合

　　0 から 29 までの数から 異なる２個を選び、大きい方を M ，小さい方を m として、

　　(x，y，z)＝(M，m，M−m)，(M−m，M，m)，(m，M−m，M) とすれば、

　　(x，y，z)＝(0，0，0) 以外は全部が表されますので、

　　3･₃₀Ｃ₂＋1＝3･30･29/2!＋1＝1306 組です。

　(1) x，y，z がすべて 1以上 30以下の整数の場合

　　1 から 30 までの数から 異なる２個を選び、大きい方を M ，小さい方を m として、

　　(x，y，z)＝(M，m，M−m)，(m，M−m，M)，(M−m，M，m) とすればよいので、

　　3･₃₀Ｃ₂＝3･30･29/2!＝1305 組です。

　(2) x，y，z がすべて 2以上 31以下の整数の場合

　　3 から 31 までの数から 異なる２個を選び、大きい方を M ，小さい方を m として、

　　(x，y，z)＝(M，m−1，M−m＋1)，(m−1，M−m＋1，M)，(M−m＋1，M，m−1) とすればよいので、

　　3･₂₉Ｃ₂＝3･29･28/2!＝1218 組です。

　(3) x，y，z がすべて 3以上 32以下の整数の場合

　　5 から 32 までの数から 異なる２個を選び、大きい方を M ，小さい方を m として、

　　(x，y，z)＝(M，m−2，M−m＋2)，(m−2，M−m＋2，M)，(M−m＋2，M，m−2) とすればよいので、

　　3･₂₈Ｃ₂＝3･28･27/2!＝1134 組です。


[解答2] たけちゃんさんのコメントより

　和が自然数ｎとなる２個の自然数の組は n−1 通りになる．

　(0) x，y，z がすべて 0以上 29以下の整数の場合

　　3つのパターン

　　・ (x，y，z)＝(0，0，0)

　　・ x，y，z のうち１つだけが 0 で，他の２つは等しい正の数

　　・ x，y，z のうちの最大数が 2〜29 で，残り２数の和が最大数と一致

　　があり得て，
　　　　　　　 ₂₉
　　1＋3･29＋3Σ(k−1)＝1＋87＋3･28･29/2＝1306(組).
　　　　　　　 ^k=2

　(1) x，y，z がすべて 1以上 30以下の整数の場合

　　x，y，z のうちの最大数が 2〜30 で，残り2数の和が最大数と一致すればよく，
　　 ₃₀
　　3Σ(k−1)＝3･29･30/2＝1305(組).
　　 ^k=2

　(2) x，y，z がすべて 2以上 31以下の整数の場合

　　x−1，y−1，z−1 のうちの最大数が 3〜30 で，残り2数の和が (最大数)−1 になる．
　　 ₃₀
　　3Σ(k−2)＝3･28･29/2＝1218(組).
　　 ^k=3

　(3) x，y，z がすべて 3以上 32以下の整数の場合

　　x−2，y−2，z−2 のうちの最大数が 4〜30 で，残り2数の和が (最大数)−2 になる．
　　 ₃₀
　　3Σ(k−3)＝3･27･28/2＝1134(組).
　　 ^k=4

*大方同じと思いますが ^^

すべてが0でない限り、３数はすべて同じになることはなく、

一番大きい数が1個決まる…

 

(0)

xが29〜1まで動くとき…

それぞれ、1〜29の間と両端にバーを１本入れて、2部分に分ければ、その和がxになる…

so…30+29+2=30*31/2-1=464

このうち、x=x+0は29個なので…

so…(464-29)*3+1=1306♪

 

(1)

30=29+1〜2=1+1・・・30〜1の間=29

so…

29+28+…+1=29*30/2=435

so…435*3=1305

 

(2)

31=29+2〜4=2+2・・・30〜2の間=28

so…28+27+…+1=29*28/2=406

so…406*3=1218

 

(3)

32=27+3〜6=3+3・・・30〜3の間=27

so…27+26+…+1=27*28/2=378

so…378*3=1134

[スモークマン]

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