19391：1,2,3から重複を許して、それぞれ奇数個を選んで合計1999枚を1列に並べる方法は？...^^;

問題19391(友人問)

1か2か3の数字が書かれたカードがそれぞれ十分たくさんある。

その中からそれぞれの数字のカードを奇数枚ずつ合計1999枚を選び、

一列に並べる。この方法は何通りあるか。

解答

それぞれの個数の組合せなら...

1,1,1 に1996/2=998

3H998=c(1000,2)=499500通り

だと思うのだけど...^^

・わたしの...

3個ずつの組み合わせは...

mod 3 で...

111,222,333,123・・・9通り

112,133,223・・・9通り

113,122,233・・・9通り

(27^666-3)*3+(27^666-3*2^666+3)*1+3*2

=4*27^666-3*2^666 通りかな？

↑

嘘みたい ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からの鮮やかなもの Orz〜

1,2,3を合計n個並べる並べ方のうち，
1の個数，2の個数，3の個数の偶奇がすべて同じであるものをAタイプ，
そうでないものをBタイプとし，
Aタイプの個数をa[n]，Bタイプの個数をb[n]とします．

Aタイプ(例:1221)の末尾に1や2や3を追加すると
(例:12211,12212,12213のように)すべてBタイプになり，
Bタイプ(例:121)の末尾に1や2や3を追加すると
(例:1211,1212,1213のように)1つだけAタイプ，後の2つはBタイプになるので，
a[n+1]=b[n],b[n+1]=3a[n]+2b[n]
となることがわかります．

*ここの解説もしていただきました ^^; Orz〜

Bタイプについても，Aタイプとそろえて4個並ぶ例にしましょうか．
Aタイプ1221からは，Bタイプである12211,12212,12213ができ，
Bタイプ1123からは，Aタイプ11231，Bタイプ11232,11233ができます．
他も同様であり，合計4個を並べるもののうち，
Aタイプa[4]個からはそれぞれBタイプが3個でき，
Bタイプb[4]個からはそれぞれAタイプ1個とBタイプ2個ができるので，
合計5個をならべるもののうち，
Aタイプはb[4]個，Bタイプは3a[4]+2b[4]個
となりますね．
つまり，a[5]=b[4],b[5]=3a[4]+2b[4]です．

a[n+1]+b[n+1]=3(a[n]+b[n]),3a[n+1]-b[n+1]=-(3a[n]-b[n])
が得られ，
a[n]+b[n]は公比3，3a[n]-b[n]は公比-1の等比数列です．
a[1]=0,b[1]=3と合わせて，a[n]+b[n]=3^n,3a[n]-b[n]=3(-1)^nであり，
a[n]=(3^n+3(-1)^n)/4ですね．

求めるものは，a[1999]=(3^1999-3)/4だと思います．

*一握の砂のようにサラサラ解ける方ってただただ凄いわ ^^;♪

[スモークマン]

↑
考えてみた ^^;...

[スモークマン]

＞4:52pmの鍵コメT様へ ^^
面白いですねぇ☆
>Bタイプ(例:121)の末尾に1や2や3を追加すると
>(例:1211,1212,1213のように)1つだけAタイプ，後の2つはBタイプになるの
>で，a[n+1]=b[n],b[n+1]=3a[n]+2b[n]
のところですが...
1212が1,2,3がすべて偶数個でb[n],1211,1213が偶奇が異なるので2b[n]
so...b[n+1]=3b[n] ならわかるのですが...
>b[n+1]=3a[n]+2b[n]
になることがトレースできませんです...^^; Orz〜

[スモークマン]

＞11:52pmの鍵コメT様へ ^^
なるほどぉ!! 鮮やかね☆
その後も、上手すぎぃ ^^
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v