19429：取り出したカードの最大値の期待値...

問題19429・・・https://okayadokary.blog.fc2.com/?no=3555#comment より Orz〜

　1 から 19 までのカードが１枚ずつあって、この中から無作為に 13 枚を取り出すとき、

　取り出した 13 枚のカードの最大数の期待値は？

解答

上記サイト https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-3558.html より Orz〜

　₁₉Ｃ₁₃＝c とすれば、最大数が 13 である確率は 1/c で、

　k＝14，15，……，19 として、最大数が k である確率は (_kＣ₁₃−_k-1Ｃ₁₃)/c です。

　求める期待値を E とすれば、

　E＝13･1/c＋14(₁₄Ｃ₁₃−₁₃Ｃ₁₃)/c＋15(₁₅Ｃ₁₃−₁₄Ｃ₁₃)/c＋……＋19(₁₉Ｃ₁₃−₁₈Ｃ₁₃)/c

　 ＝−₁₃Ｃ₁₃/c−₁₄Ｃ₁₃/c−₁₅Ｃ₁₃/c−……−₁₈Ｃ₁₃/c＋19･₁₉Ｃ₁₃/c です。

　ここで、₁₃Ｃ₁₃＋₁₄Ｃ₁₃＋₁₅Ｃ₁₃＋……＋₁₈Ｃ₁₃ は、

　19 以下の自然数から 14 個を選ぶとき、最大数が 14，15，……，19 である場合を加えたもので、

　₁₉Ｃ₁₄ に等しくなります。

　E＝−₁₉Ｃ₁₄/c＋19･₁₉Ｃ₁₃/c＝−₁₉Ｃ₁₄/₁₉Ｃ₁₃＋19＝−｛19!/(14!･5!)｝/｛19!/(13!･6!)｝＋19

　 ＝−(13!･6!)/(14!･5!)＋19＝−6/14＋19＝130/7 です。


[参考]

　１からｎまでのカードから無作為にｍ枚を取り出すときの最大数の期待値であれば、

　E＝−(n−m)/(m＋1)＋n＝｛(m＋1)n−(n−m)｝/(m＋1)＝(n＋1)m/(m＋1) です。

*苦手や...全然わかりませんでしたわ ^^;...

・友人からのもの...

最大値がkのときの場合の数は1つがkで、他の12枚が(k-1)以下だから

(k-1)C12通り　総数はN=19C13　よってr(k)=(k-1)C12/N

求める期待値はr(k)*k=130/7=18.57

大きいようにも思うけれど、（対数の法則で？？）目分量でいっても

0〜20の20の間に13個が等間隔に並べば

間隔は20/14　13番目だから20/14*13=130/7

*読んでもわからないから諦めるしかなかと...^^;

[スモークマン]

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やどかりさんの解答がアップされました♪
but...beyond me...^^;;