19503：異なる4個の整数...2個ずつの和の6個は等差数列.その和の最大は最小の２倍.その和の中に2007がある.4個の整数の際少数は？...クイズ ^^

問題19503・・・http://www.sansuu.net/challenge/challengeq/challenge045q.htm より 引用 Orz〜

４個の異なる整数があります。その中から２個ずつを取り出して加えると、それらの和は６個あります。この６個の数を小さい順に並べたとき、隣り合う数の差はすべて等しくなり、６個の数のうち最大のものは最小のものの２倍となります。また、６個の数のうちの１つは２００７です。４個の整数のうち最も小さい整数はいくつですか。

解答

なんとかなったわ ^^;v

・わたしの...

a<b<c<d

a+b<a+c<(a+d,b+c)<b+d<c+d

2007はa+b or (a+d or b+c) or b+d

2(2007-m)=2007+4m

2007=6m...なし

2(2007-2m)=2007+3m

2007=7m...なし

2(2007-4m)=2007+m

2007=9m...m=223

so...

b+d=2007

c+d=2007+223=2230

a+b=1115

a+c=1115+223=1338

2a+b+c=2453

b+c=1115+2*223 or 1115+3*223

2a=2453-(1115+2*223)=892 しかない...

so...a=446

ね ^^

↑

遠回りしてますわ ^^; 

↓

・鍵コメT様からのスマートな解法 Orz〜

正しいと思います．6個の和を先に確定させる方が少し楽かもしれません．

6個の和は5A,6A,7A,8A,9A,10Aとおける．

*こう置けることにすぐに気づけなかったわたし...^^;;

*

いろいろな説明が可能ですが，丁寧に書くなら
「6個の和は等間隔に並び，最大数が最小数の2倍だから，
Bと2Bの間隔が5等分され，B,1.2B,1.4B,1.6B,1.8B,2B.
B=5Aとおいて，5A,6A,7A,8A,9A,10A.」
とか
「6個の和の最小数をB，等しい間隔をAとして，B,B+A,B+2A,…,B+5A.
B+5AがBの2倍だから，B=5A.」
という感じでしょうか．
けっこう当たり前に思えますが．．．

*確かにそうでしたわ ^^;...

2007は5,6,7,8,10では割り切れないから，9A=2007であり，A=223.

また，元の4数を小さい順にx,y,z,wとすると，
x+y=5A,x+z=6A,x+wとy+zは一方が7A,もう一方が8A，y+w=9A,z+w=10A.
2種類のそれぞれについてx,y,z,wをAで表すと，
(x,y,z,w)=(2A,3A,4A,6A),(1.5A,3.5A,4.5A,5.5A)となって，
実際はAが奇数であることから，
(x,y,z,w)=(2A,3A,4A,6A)=(446,669,892,1338). 

[スモークマン]

＞9:12pmの鍵コメT様へ ^^
鮮やかすぎ ^^
but...
>6個の和は5A,6A,7A,8A,9A,10Aとおける．
のところがすぐにそう言えるのかどうかがわかりませんばい ^^;...Orz...

[スモークマン]

＞0:02amの鍵コメT様へ ^^
そっか!!
気づけませんでしたわ ^^;;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v