19523：0<x<x+y<y+z<=n を満たす正の整数(x,y,z)の総数は？...

問題19523(友人問)

2以上の自然数nに対して、

0=<x<x+y<y+z<=n

を満たす正数の組（x,y,z）の総数を求めよ。

解答

・わたしの...

0<x<x+y<y+z<=n, 3<=n ですよね？

nxnのグラフで対角線をまたぐ点の折れ線の数...

x=1...y=1〜(n-2)...z=(n-2)〜1・・・1+2+...+(n-2)

x=2...y=1〜(n-3)...z=(n-3)〜1・・・1+2+...+(n-3)

x=n-2...y=1...z=1・・・1

so...

1+(1+2)+(1+2+3)+...(1+2+3+...+(n-2))

=Σ[k=1〜(n-2)]k(k+1)/2

=(1/2)Σ(k^2+k)

=(1/2)((n-2)(n-1)(2n-3)/6+(n-2)(n-1)/2)

=(n-2)(n-1)n/6 通り

^^