19560：互いに素な2以上の整数p,q,正の整数 m<n。このとき、分母がp^2q^2で、分子がp,qdで割れない分数でmより大きくnより小さいものの総数は？

本場のインドカレーの味は一味違いますね ^^

問題19560・・・http://www.sansuu.net/daigaku/daigakuq/daigaku021q.htm より 引用 Orz〜

ｐ、ｑを互いに素な２以上の整数、ｍ、ｎはｍ＜ｎなる正の整数とする。このとき、分母がｐ²ｑ²で、分子がｐでもｑでも割り切れない分数のうち、ｍよりも大きくｎよりも小さいものの総数を求めよ。

解答

・わたしの...

m+1/(p^2q^2)〜n-1/(p^2q^2) になればいい

so...

分子で考えると...

(p^2q^2)m+1〜(p^2q^2)n-1

(p^2q^2)(n-m)-2+1=p^2q^2*(n-m)-1 個

ですね ^^

↑

あまりに皮相的でしたわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

これでは，条件「分子がpでもqでも割り切れない」が
考慮されていないと思います．

分子となり得る数「(p^2)(q^2)m+1から(p^2)(q^2)nまで」
の(p^2)(q^2)(n-m)個のうちで，pでもqでも割り切れないものを数えれば，
それが結論となります．

連続するpq個の整数の内に，pの倍数がq個，qの倍数がp個，重複が1個あり，
pでもqでも割り切れないものはpq-(p+q-1)=(p-1)(q-1)(個)含まれます．
これより，連続するpq*pq(n-m)個の整数のうちには，
pでもqでも割り切れないものが
(p-1)(q-1)*pq(n-m)=pq(p-1)(q-1)(n-m)(個)あることになり，
これが結論です． 

*面白い問題でした ^^;...♪

[スモークマン]

＞0:06amの鍵コメT様へ ^^
分子が...(p^2q^2)m+1であれば...p,qで割り切れないと思うのですが...^^;...

[スモークマン]

＞0:46amの鍵コメT様へ ^^
そっか ^^;
(p^2)(q^2)n-1-[((p^2)(q^2)n-1)/p]-[((p^2)(q^2)n-1)/q]+[((p^2)(q^2)n-1)/(pq)]=(p^2)(q^2)n-1-(p(q^2)n-1)-((p^2)qn-1)+(pqn-1)
(p^2)(q^2)m+1-[((p^2)(q^2)m+1)/p]-[((p^2)(q^2)m+1)/q]+[((p^2)(q^2)m+1)/(pq)]=(p^2)(q^2)m+1-p(q^2)m-(p^2)qm+pqm
so...
(p^2)(q^2)n-1-(p(q^2)n-1)-((p^2)qn-1)+(pqn-1)-((p^2)(q^2)m+1-p(q^2)m-(p^2)qm+pqn-1)
PCにお願いすると...^^;
=pq(n-m)(pq-p-q) という綺麗な式に♪

て計算じゃ大変っていうか無理そうな気がしたり...^^;;

[スモークマン]

＞11:02pmの鍵コメT様へ ^^
なるほどでっす☆
基本がわかってないわたしだす ^^;;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v