19570：自然数n、nとn^2+2がともに素数になるnは？...

問題19570・・・http://www.sansuu.net/daigaku/daigakuq/daigaku039q.htm より 引用 Orz〜

２以上の自然数ｎに対し、ｎとｎ^２＋２がともに素数になるのはｎ＝３の場合に限ることを示せ。

解答

・わたしの...

n^2+2も素数なら、n≠2

so...

n=3k±1

kが奇数ではnは偶数になるので、kは偶数

so...

n=6m±1

(6m±1)^2+2≡0 (mod 3)

so...

n=3k±1では、n^2+2が3の倍数になりダメ...

so...

あるなら、n=3 のときだけで...

3^2+2=11 で成立 ^^

↑

もっと簡単に言えるのでした ^^;

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

大筋は正しそうですが，細かいところはいろいろと変な気がします．
例えば，
・「n≠2. so n=3k±1.」つながっていません．
・3k±1について，kの偶奇の考察は不要だと思います．

以下のようになります．
n≠3とすると，nが素数であることから，nは3の倍数ではなく，
n=3k±1と表される．
このとき，n^2+2=9k^2±6k+3は3の倍数となる．
n≧2より，n^2+2≧6だから，n^2+2は6以上の3の倍数となって
素数とはなり得ない．
以上により示された．

*合点ですばい ^^;v

[スモークマン]

＞11:38pmの鍵コメT様へ ^^
そうですよね ^^;
紹介させていただきまっす〜m(_ _);m〜v