19579：証明...nは1以上の整数. (n^2+1)(5n^2+9)は平方数にはならない...

https://gardenstory.jp/15088 より 引用 Orz〜

「水草には主に、葉や茎が水上、根が水中にある「抽水性植物」、体のすべてが水中にある「沈水性植物」、根を水中に張らず、水面や水上を漂って生育する「浮遊性植物」、水底から茎を伸ばして水上に葉を浮かべる「浮葉性植物」、水辺に育つ「湿生植物」があります。

メダカの産卵浮き草としてお馴染みのホテイアオイ。ぷっくりと膨らんだ葉柄が水に浮かび、土がなくても栽培できる浮遊性植物です。７〜９月頃に青紫色の花を咲かせます。熱帯性植物なので、冬は屋内で管理を。」

*このホテイアオイみたいですね ^^♪

but...未だその美しい花の姿は拝めてませんけど...?

問題19579・・・http://www.sansuu.net/daigaku/daigakuq/daigaku047q.htm より 引用 Orz〜

ｎを１以上の整数とする。

（１）ｎ²＋１と５ｎ²＋９の最大公約数ｄ_nを求めよ。
（２）（ｎ²＋１）（５ｎ²＋９）は整数の２乗にならないことを示せ。

解答

・わたしの...

(1)

5n^2+9-5(n^2+1)=4

4とn^2+1との最大公約数

1,2,4の中で満たすのは...1だけ

so...1

(2)

(1)から...n^2+1, 5n^2+9 それぞれが平方数でなければいけないが...

n^2<n^2+1<(n+1)^2

で、n^2+1は平方数でないので、5n^2+9が平方巣立ったとしても、全体では無理ね ^^

↑

不完全...^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1)は，nによって最大公約数は異なります．
(問題文にd[n]とあることが，nに依存する値であることを暗示しています．)

5n^2+9=5(n^2+1)+4だから，n^2+1と4の最大公約数を求めればよく．
nが偶数であれば，
n^2+1は奇数だから最大公約数は1，
nが奇数であれば，
n=2m-1とおけて，n^2+1=4m^2-4m+2=2(2m^2-2m+1)だから，最大公約数は2．

(2)は，「最大公約数が1」を前提としていて，これでは不完全です．

nが偶数のとき，n^2+1と5n^2+9は最大公約数が1だから，
積が平方数であれば，両方が平方数に限るが，n^2+1は平方数でなく不適．
nが奇数のとき，n^2+1と5n^2+9は最大公約数が2だから，
積が平方数であれば，両方が平方数の2倍となる．
ここで，n=2m-1とおけて，5n^2+9=5(4m^2-4m+1)+9=2(10m^2-10m+7)となるが，・・・@
10m^2-10m+7は4で割って3余るので平方数とはなり得ず不適．

以上により示された．

問題19118(https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/50506459.html 参照)ですね．

@10m^2-10m=10m(m-1)で，m,m-1の一方は偶数なので，

10m^2-10m+7は4で割って3余ります．
もちろん一の位に着目するのもありで，
問題19118ではそちらでコメントしたような覚えがあります．・・・確かに、そうでした^^☆

*既出問とは...^^;

同じところをぐるぐる回ってるだけのわたしの頭なのよねぇ...^^;;...

[スモークマン]

＞9:25pmの鍵コメT様へ ^^
既出問でしたか ^^;
どうも...不完全でダメあるわたし...^^;;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v

[スモークマン]

↑
鍵コメT様へ ^^
>10m^2-10m+7は4で割って3余る
ってのは...10m^2-20m+10m+7 なので...
必ずしも3余るわけではないような？
それよりも、下一桁が7になるものはないからでどうでっしゃろ ^^;...Orz〜

[スモークマン]

＞0:17amの鍵コメT様へ ^^
失礼しました...10m^2が100m^2のように思い込んでましたわ...^^;;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v