19629：凸23角形...交わらない対角線の選び方は？

問題19629・・・やどかりさんのブログ https://okayadokary.blog.fc2.com/?no=3564#comment より Orz〜

　凸23角形の対角線は何本？　そのうちの交わらない２本の選び方は何通り？

「交わらない」は、凸23角形の内部または頂点で交わらないことを意味します。

解答

上記サイト https://okayadokary.blog.fc2.com/?no=3570#comment より Orz〜

[解答1]

　一般化して凸ｎ角形で考えます。

　対角線は１つの頂点において (n−3)本あり、頂点はｎ個、同じ対角線を２回数えるので、

　n(n−3)/2 本です。

　そのうちの２本の選び方は、

　_n(n-3)/2Ｃ₂＝｛n(n−3)/2｝｛n(n−3)/2−1｝/2＝n(n−3)(n²−3n−2)/8 通り、

　頂点で交わる２本の選び方は、

　n･_n-3Ｃ₂＝n(n−3)(n−4)/2 通り、

　内部で交わる２本の選び方は、頂点４個に対して１通りあるので、

　_nＣ₄＝n(n−1)(n−2)(n−3)/24 通りだから、

　交わらない２本の選び方は、

　n(n−3)(n²−3n−2)/8−n(n−3)(n−4)/2−n(n−1)(n−2)(n−3)/24

　＝n(n−3)｛3(n²−3n−2)−12(n−4)−(n−1)(n−2)｝/24

　＝n(n−3)(3n²−9n−6−12n＋48−n²＋3n−2)/24

　＝n(n−3)(2n²−18n＋40)/24＝n(n−3)(n²−9n＋20)/12

　＝n(n−3)(n−4)(n−5)/12 通りです。

　n＝23 のとき、23(23−3)/2＝230 本 、23(23−3)(23−4)(23−5)/12＝13110 通りです。


[解答2]

　一般化して凸ｎ角形で考えます。

　２つの頂点を結ぶと 辺か対角線なので、対角線は

　_nＣ₂−n＝n(n−1)/2−n＝n(n−3)/2 本です。

　頂点のうち４つを左回りにA，B，C，Dをとり、対角線AB，CDが交わらないものとします。

　Aの決め方が n通り、Aから左回りに凸ｎ角形の頂点に１からｎまでの番号をつけると、

　B，C，Dは３からｎまでの中から３つを C，Dが隣り合わないようにとることになります。

　３から n−1 の中から３つを選び、

　小さい２つの番号を B，C とし、最大の番号に１を加えたものを D にすれば条件を満たします。

　ただし、２本の選び方は同じものを２回ずつ数えることになるので、

　n･_n-3Ｃ₃/2＝n(n−3)(n−4)(n−5)/12 通りです。

　n＝23 のとき、23(23−3)/2＝230 本 、23(23−3)(23−4)(23−5)/12＝13110 通りです。

*[解答1]の方法でした ^^

[解答2]は言われてみたら上手いですわね♪

[スモークマン]

↑
やどかりさんの解答がアップされました♪