19654：証明...鋭角三角形ABCの外心Oと垂足と各頂点を結ぶ線分で△ABCは面積が等しい△3対に分割される...^^;

問題19654(友人問)

鋭角三角形ABCにおいて、各頂点から対辺に下ろした垂線をAD、BE、CFとし、

外心をOとする。線分OA、OF、OB、OD、OC、OEによって、

三角形ABCは面積が等しい三角形3対に分割されることを示せ。

解答

・わたしの...

△ABCの面積=S

△OAB(S1)：△OBC(S2)：△OCA(S3)

=sin(2C)：sin(2A)：sin(2B)

=sin(C)*cos(C)：sin(A)*cos(A)：sin(B)*cos(B)

=(AD/AC)*(CD/AC)：(BE/AB)*(AE/AB)：(CF/BC)(BF/BC)

=(BE/BC)(CE/BC)：(CF/AC)(AF/AC)：(AD/AB)(BD/AB)

方べきから...

AE*AB=AF*AC

BF*AB=BD*BC

CE*AC=CD*BC

これらからなんとかなりそうなものだけど...

気づけず...^^;

・鍵コメT様からの鮮やかな解法 Orz〜

強引に面積を表せばできてしまいます．
BDtan∠B=CDtan∠C=ADだから，
BD:CD=tan∠C:tan∠B=sin∠C/cos∠C:sin∠B/cos∠B
=sin∠Ccos∠B:sin∠Bcos∠C.
よって，外接円の半径をRとして，
△BOD=((sin∠Ccos∠B)/(sin∠Ccos∠B+sin∠Bcos∠C))△BOC
=((sin∠Ccos∠B)/(sin(∠B+∠C)))*(1/2)(R^2)sin∠BOC
=(sin∠Ccos∠B)/(sin∠A)*(1/2)(R^2)sin(2∠A)
=(sin∠Ccos∠B)/(sin∠A)*(1/2)(R^2)(2sin∠Acos∠A)
=(R^2)cos∠Acos∠Bsin∠C.
同様に，△AOE=(R^2)cos∠Acos∠Bsin∠Cとなって，△BODと等しい．
他の三角形についても同様．

*△BODは，辺BC上の垂線の足と頂点BおよびOを頂点とし，
その面積が(R^2)cos∠Acos∠Bsin∠Cとなるのであれば，
頂点A,Bの立場を入れ替えて，
辺AC上の垂線の足と頂点AおよびOを頂点とする△AOEについて，
面積は(R^2)cos∠Bcos∠Asin∠Cとなるはずですね．

*強引な計算といっても...

こんなにすらすらとは行きましぇんばい ^^;...Orz〜v

[スモークマン]

＞0:21amの鍵コメT様へ ^^
こんなにすらすらと式変形できるのがすごいです☆
but...
cos∠Bsin∠C=sin∠Bcos∠C...tanC=tanB ということになりますよね...^^;
どうなんでっしょ?...Orz〜

[スモークマン]

＞11:00pmの鍵コメT様へ ^^
△AOFを計算してました...^^;
貴殿の最後の式が...(R^2)cos∠Asin∠Bcos∠Cでしたが...
cos∠Bcos∠Asin∠Cでしたのね ^^;;...Orz...
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v