19667：3桁の数ABCは2以上の整数nで(ABC)^nの下3桁が常にABCである. ABCは？

問題19667・・・http://task.naganoblog.jp/e2399197.html より引用 Orz～

解答

・わたしの...

ABC=m

m^2-m=m(m-1)≡0 mod(1000)

so...

m(m-1)が1000の倍数

125*8=1000

so...

124=8*18 でオーケー ^^

375...376=8*47

625...624=8*78

875...なし

so...125,876,625 ね^^

↑

わややってます ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

124=(2^2)*31であり，125はダメです．
また，結論の「876」は多分打ち間違いでしょう．

n(n-1)≡0 (mod 1000)であり，
nとn-1は互いに素，100≦n≦999だからn,n-1はいずれも1000では割り切れず，
すると，一方が8の倍数，もう一方が125の倍数．

n≡0 (mod 8)，n-1≡0 (mod 125)のとき，
125n≡0 (mod 1000),8n≡8 (mod 1000)であり，
47*8n-3*125n≡47*8 (mod 1000)，n≡376 (mod 1000).

n≡0 (mod 125),n-1≡0 (mod 8)のとき，
1-n=mとして，m≡0 (mod 8)，m-1≡0 (mod 125)だから，
m≡376 (mod 1000)となって，n≡625 (mod 1000).

以上より，n=376,625．

*確かにそうでしたぁ ^^;v

一般の場合を含めた考察が以下のやどかりさんのサイトでなされていましたのでした ^^♪

☆ ヤドカリの気ままな数学 ☆

https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-223.html ;

約 10年前になるんだなぁ...^^;

uch*n*anさんのお名前も懐かしなぁ♪