19675：a,bは実数,a^+b^2=16,a^3+b^3=44. a+b=?

問題19675・・・http://mp3ew.com/audio/view/f0mOkTMVnE0.html より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

a+b=x

ab=y

a^2+b^2=x^2-2y=16

a^3+b^3=(a^2+b^2)(a+b)-ab(a+b)=16x-xy=44

16x-x(x^2-16)/2=44

32x-x^3+16x=88

x^3-48x+88=0

(x-2)(x^2+2x+44)=0

x^2+2x+44=(x+1)^2+43>0

so...

a+b=x=2

(2)

a^2+b^2=16

a^3+b^3=44

a^k+b^k=(a^(k-1)+b^(k-1))(a+b)-ab(a^(k-2)+b^(k-2))

a^(k-2)+b^(k-2)もa^(k-1)+b^(k-1)も4の倍数なら明らかに a^k+b^kも4の倍数ね ^^

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1),(2)とも基本的に正しいですが，
どこかで「y=-6」を求めておく方がよいです．
そうでないと，(2)のa^k+b^k=(a^(k-1)+b^(k-1))*x-(a^(k-2)+b^(k-2))*y
について，掛け算するyが整数である保証が得られなくなり，
「(a^(k-1)+b^(k-1)),(a^(k-2)+b^(k-2))が整数であることから
a^k+b^kも整数である」とは言い切れなくなってしまいます．

*確かにそうでした ^^;v

[スモークマン]

＞4:49pmの鍵コメT様へ ^^
なるほど確かに ^^;v
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v