19706：自然数 x,y,3以上の素数 p. x^3-y^3=p が自然数の解を持つようなpで小さいものから5番目は？...

問題19706・・・http://hibiyastudy.hatenablog.com/entry/math/problems/16 より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

(x-y)(x+y)=p>0

pは奇素数...

so...

x-y=1,x+y=p

so...

x=(p+1)/2

y=(p-1)/2

(2)

x^3-y^3=p>0

x-y=1

x^2+xy+y^2=p

(x-y)^2+3xy=1+3x(x+1)=p

x(x+1)は偶数

so...3x(x+1)は6の倍数

so...p≡1 (mod 6)

(3)

7,13,19,31,37,43,61,...

so...37

^^

↑

安易に過ぎ/舐めてましたばい ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(3)は誤りです．
(2)で示したのは，「x^3-y^3=pであれば，pは6で割って1余る」であり，
「pが6で割って1余るならば，x^3-y^3=pと表される」ことは示していません．
(というか，それは不成立です．)

(2)の論証中でも用いられていますが，pが3以上の素数であれば，
x=y+1となり，p=x^3-y^3=(y+1)^3-y^3=3y^2+3y+1です．
y=1に対してp=7，
y=2に対してp=19，
y=3に対してp=37，
y=4に対してp=61，
y=5に対してp=91=7*13 (素数でなく不適)，
y=6に対してp=127
となって，結論は127となります．

・鍵コメY様からのもの Orz〜

1+3x(x+1)=p に x=1,2,…… と代入して、
p=7,19,37,61,91,127,169,217,…… ですが、
このうちの５番目の素数は 127 です。 

*でしたわ ^^;v

[スモークマン]

＞1:20amの鍵コメT様へ ^^
＞5:10amの鍵コメY様へ ^^
そっか ^^;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v