19708：(x+1)^3(x+2)^3(x+3)^3 のx^kの係数をa(k). a(2)+a(4)+a(6)+a(8)=?...

問題19708(友人問)

多項式(x+1)^3(x+2)^3(x+3)^3　におけるx^kの係数をa(k)とおく

このときa(2)+a(4)+a(6)+a(8)　の値を求めよ。

解答

・わたしの...

与式の展開式は...

f(x)=a(9)x^9+a(8)x^8+a(7)x^7+a(6)x^6+a(5)x^5+a(4)x^4+a(3)x^3+a(2)x^2+a(1)x+a(0)

so...

f(0)=1*2^3*3^3=a(0)

f(1)=a(9)+a(8)+...+a(2)+a(1)+a(0)=2^3*3^3*4^3

f(-1)=-(a(9)+a(7)+a(5)+a(3)+a(1))+a(8)+a(6)+a(4)+a(2)+a(0)=0

so...

2(a(8)+a(6)+a(4)+a(2)+a(0))

=2^3*3^3*4^3

so...

a(8)+a(6)+a(4)+a(2)+a(0)=2^2*3^3*4^3

so...

a(8)+a(6)+a(4)+a(2)

=2^2*3^3*4^3-a(0)

=2^2*3^3*4^3-2^3*3^3

=2^2*3^3*(4^3-2)

=4*27*62

=6696

^^