19728：証明...Xは平面上の有限個の点の集合.全ての点が同一直線上に並ばないとき、ちょうど2点だけを通る直線が引ける。

問題19728(友人問)

Xを平面上の有限個の点の集合とする。ただし、全ての点が同一直線上に

並んでいるということはないとする。このとき、Xの点をちょうど

2点だけ通る直線が引けることを証明せよ。

解答

・わたしの...

n>=3 で、

3点以上の直線しか引けないとすると...

最大の直線の数はすべて3点の時なので...

nC3=n(n-1)(n-2)/6=n(n-1)(n-2)/6

n>=6以上では、n(n-1)2/3>n(n-1)/2=nC2

と、2点同士で引ける直線の数を上回ることになり矛盾

n=3のとき...明らか

n=4のとき...3点が1直線なら、残りの点と2点で結べる直線が引ける

□なら明らか...

n=5のとき...

4点が1直線のときは明らか3点と2点でも明らか

5角形なら明らか...

so...

2点しか結べない直線は存在する ^^

↑

嘘でした...^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

nが6以上の場合の矛盾内容がわかりません．

例えば10点の場合，仮にどの直線も直線上にちょうど3点を含むとします．
10点から3点を選んで作った組(10C3組)の中には，
1つの直線上の3点もあり，そうでない3点の組もあるわけで，
すると，10C3にはどういう意味があるのか不明です．

・・・確かに...無意味でしたわ ^^; Orz...

「シルベスターの問題」と言われる有名問題であり，
以下のような証明が知られています．

Xの点2つが定める直線Lに対して，L上にないXの点のうち，
Lからの距離が最小であるものをP(L)とし，その距離をd(L)とする．
可能なLは有限個だから，d(L)には最小値がある．
以下，d(L)を最小にする直線Lを考え，P(L)を改めてPとする．

L上にXの点が3つ以上あると仮定し，その3点を，L上に並ぶ順にA,B,Cとする．
PからLに下した垂線の足Hが，BよりもA側にあるとすると，
直線CP(Xの点2つが定める直線の1つ)にBから下した垂線は，
直角三角形CPHの内部に含まれ，その垂線長はPHより短い．
これは，d(L)が最小値であったことに矛盾する．
HがBよりもC側にある場合も同様に矛盾が導かれる．

以上より，d(L)を最小にする直線L上にはXの点は2つしかない．

* https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/44720569.html 参照

・友人から届いたもの...

*『PからLに下ろした垂線でLを分けた時、同じ側にいる2点Q,Rが取れる』

が言えることって明らかなんだろか...?

*やっと意味がわかりましたわ ^^;v

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

友人さんが示された証明は，私がコメントしたものと等価です．

背理法の仮定から，L上にはXの点が3点含まれます．
よって，PからLに下した垂線の足でLを2つの半直線に分ける
(垂線の足は一方に含める)とき，2つの部分の一方には2点が含まれます．
これより，「同じ側にいる2点Q,Rがとれる」ことになります．
(垂線の足がQである場合は多少「同じ側」に違和感はありますが，
論証には支障がないことが分かると思います．
この違和感を避けて，私は「三角形の内部」という表現を用いました．)

友人さんの示された手順は次の通りです．
Xに属するどの2点を通る直線も，実際は3点以上を通ると仮定します．

[1] Xの2点を通る各直線について，直線上にないXの点(前提から必ず存在)の
うちで直線から最も近い点までの距離を考えます．
直線は有限本であり，この距離には最小値が存在するので，
最小値を与える直線をL，そのときの，直線上にない最も近い点をPとします．
・この段階では，LとPは定まっていますが，
L上のXの点(3つ以上)には名前は付いていないことに注意してください．

[2] PからLに下ろした垂線の足でLを2つに分けると，
(垂線の足自体はどちらの部分に入るとしてもよく，
何なら両方に入るとしてもよいです．)
Xの点を3つ以上含むLが2つに分かれたので，
その一方はXの点を2つ以上含みます．
その2点を，垂線の足に近い方から順にQ,Rと名付けます．

[3] 直線PRは，Xの点2つを通る直線なので，[1]の手続きから，
直線PRと「PR上にないXの点」との距離は，LとPとの距離以上のはずです．
ところが，図からわかる通り，直線PRとQとの距離は
LとPとの距離よりも小さいので，矛盾が生じています．

*シンプルだけど、明らかにそう言えますわね ^^☆

エルデシュさんの感動が...お陰様で...わたしにもちょっぴり伝わって来ましたわ ^^♪