19738：も解...^^

問題19738・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

デジャヴー  ^^

・わたしの...

(1)

f'(x)=3x^2-3=0

x^2=1

1根は-1から1の間にあり、

残りは...

f(-2)=--4, f(-1)=3・・・f(-2)とf(-1)との間にある

f(2)=5,f(1)=-1・・・f(1)とf(2)との間にある

(2)

x^3-3x+1=0

(x^2-2)^3-3(x^2-2)+1

=x^6-6x^4+9x^2-1

=(3x-1)^2-6x(3x-1)+9x^2-1

=0

(3)

α<β≠0<γ

α^2-2=αとすると、

α^2-α-2=(α+1)(α-2)=0・・・αは-1,2ではないので、α≠α^2-2

β^2-2・・・αだから、α^2-2がβ,γ^2-2がα になるしかないですね ^^

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(2)の2行目は「(x^2-2)^3-3(x^2-2)+1」が正しいです．

・・・赤字で訂正させていただきました ^^; Orz〜

(3)「β^2-2…αだから」以下でやっていることがわかりません．
次のようにするのが普通かと思います．
3解の積が-1，3解の和が0だから，3解の1つが負で，2つが正であり，
α[1]<0<α[2]<α[3].
α[1]+α[2]+α[3]=0だから，絶対値は|α[2]|<|α[3]|<|α[1]|.
(2)より，(α[1])^2-2,(α[2])^2-2,(α[3])^2-2はすべてf(x)=0の解で，
(α[2])^2-2<(α[3])^2-2<(α[1])^2-2であることから，
(α[2])^2-2=α[1]，(α[3])^2-2=α[1],(α[1])^2-2=α[3].

なお，次のようにすることも可能です．

f(2cosθ)=8(cosθ)^3-6(cosθ)+1=2cos3θ+1だから，・・・なんで思いつけるのぉ!! ^^;
θ=2π/9,4π/9,8π/9に対して，x=2cosθはf(x)=0の解．
また，明らかに2>2cos(2π/9)>2cos(4π/9)>2cos(8π/9)>-2が成り立つ．
(1) 3次方程式f(x)=0の3解はx=2cos(2π/9),2cos(4π/9),2cos(8π/9)
であるから，題意は成り立つ．
(2),(3)
g(2cos(2π/9))=4(cos(2π/9))^2-2=2cos(4π/9),
g(2cos(4π/9))=4(cos(4π/9))^2-2=2cos(8π/9),
g(2cos(8π/9))=4(cos(8π/9))^2-2=2cos(16π/9)=2cos(2π/9)
であり，α[1]=2cos(8π/9),α[2]=2cos(4π/9),α[3]=2cos(2π/9)
であるから，題意は成り立つ．

[スモークマン]

＞7:39pmの鍵コメT様へ ^^
(3)は...
αが解のときα^2-2も解ということなので、
-2<α＜β＜γ<2
から、β^2-2 が最小のα
α≠α^2-2 なので...
α^2-αはβ かγ
γ^2-2はγでないのでβ
so...α^2-2はγ
と考えましたです ^^;

紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v