19746：最大値...円周上の点Pと直径AB上の点Q,角BPQ=π/3...

問題19746・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より引用 Orz～

解答

・わたしの...

(1)

under consideration...

(2)

これは...図から、y=半径=1/2 の時が最大になるので、xも1/2ですね ^^

↑

間違ってます ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

(2)の結論はけっこう汚い値なので，(1)が解けないと苦しいと思います．

なお，(yを最大とするケースではありませんが，)例えば
x=1/√2にしたとき(つまり，三角形ABPを直角二等辺三角形にしたとき)，
y>(半径)=1/2であることは明らかですね．
つまり，y=1/2を与えるx=1/2は正しい結論ではありません．

・再考...

↑

直感は裏切られるもの ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

前回のコメントでも言及していますが，
「Pが一番てっぺんに来たとき」は，yが最大ではありません．
スモークマンさんの考察どおり，y=1/(1/(2sinθ)+(√3)/(2cosθ))です．
(sinθ=x,cosθ=√(1-x^2)であり，ここまでくれば，
(1)は解けたも同然です．y=(2x√(1-x^2))/((√3)x+√(1-x^2))となります．)
2/y=1/sinθ+(√3)/cosθ=f(θ)とおいて，
f'(θ)=-(cosθ)/(sinθ)^2+(√3)(sinθ)/(cosθ)^2
=((√3)(sinθ)^3-(cosθ)^3)/((sinθcosθ)^2)となり，
yが最大となるのは(√3)(sinθ)^3-(cosθ)^3=0のときです．
このとき，(tanθ)^3=1/√3であり，
tanθ=1/3^(1/6)，cosθ=1/√(1+1/3^(1/3))，
sinθ=(1/3^(1/6))/√(1+1/3^(1/3))=1/√(3^(1/3)+1)
となって，このsinθの値がそのまま求めるxです．

*なるほどですだ ^^☆