19749：2^n>n^2+7...

問題19749・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

2^3=8<3^2+7=16

2^4=16

2^5=32=5^2+7=32

2^6=64>6^2+7=43

2^k>k^2+7

2*2^k>2(k^2+7)

2(k^2+7)-(k+1)^2-7=k^2-2k+6=(k-1)^2+5>0

つまり...

2^k>k^2+7・・・k=6 で成り立つ...

so...

2^(k+1)>2(k^2+7)>(k+1)^2+7

が成り立つ...

(2)

p=2のとき...

(1)の考察から...

2^5=5^2+7

p=奇素数のとき...

のとき、q=2 しかない...

p^2=2^p+7

平方数は(4m±1)^2≡1なのに、右辺≡3だから、存在しない ^^

結局...

(p,q)=(2,5) だけですね ^^