19751：x^2+(a1)x+(b1)=0の解はx^2+(a2)x+(b2)=0の解...(ak),(bk)は整数...

問題19751・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より引用 Orz～

解答

・わたしの...

(1)

cd=b

ef=d

ab=f

so...

abc=1

(a,b,c)=(1,1,1),(1,-1,-1),(-1,-1,1),(-1,1,-1)

x^2+x+1は実数解なし

後も整数解はない

so...

bdf=0

b=0...cd=0,f=0

x^2+ax=0

x^2+cx=0

x^2+ex=0

a=c=e=任意の整数

a=c=e=0,b=d=f=-m^2

式は、b,d,fに関して対称なのでこれで全て...

so...

(a,b,c,d,e,f)=(a,0,a,0,a,0)・・・aは任意の整数・・・[I]

=(0,-m^2,0,-m^2,0,-m^2)・・・mは任意の整数・・・[II]

(2)

(i)

(1)のタイプが周期するものが存在できる...so...[II]型なら満たす

(ii)

(1)のタイプは、方程式の個数が増えても論理の流れからは同じ結論になる...

so...

{{an},{bn}}={{a1,a1,a1,...},{0,0,0,...}}

{{an},{bn}}={0,0,0,...},{-n^2,^n^2,-n^2,...}}

で全てあるね ^^

↑

おかしかったあるね ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

(1) x^2+ax+b=0の2解がc,dであることから，cd=bは確かですが，
c+d=-aという条件も満たす必要があり，
(a,b,c,d,e,f)=(a,0,a,0,a,0)はa≠0のときこれを満たさず，
(a,b,c,d,e,f)=(0,-m^2,0,-m^2,0,-m^2)もm≠0のときこれを満たしません．
また，途中式で「abc=1」としているのは変です．

「cd=b,ef=d,ab=f」…[1]，「c+d=-a,e+f=-c,a+b=-e」…[2]．
[1]より，abcdef=bdfであり，
(ace-1)bdf=0.
よって，ace=1またはbdf=0.

bdf=0のとき，b,d,fのうちに0があり，すると[1]よりb=d=f=0.
[2]よりa+c=0,c+e=0,e+a=0となり，a=c=e=0.
よって，(a,b,c,d,e,f)=(0,0,0,0,0,0)．

bdf≠0のとき，ace=1である．
a,c,eはすべて1，またはa,c,eの2つが-1で残りは1．
a=-cとすると，[2]よりd=0となり，bdf≠0に反する．
同様に，c=-e,e=-aも不適であるから，a=c=e=1に限る．
このとき，[2]より，b=d=f=-2であり，(a,b,c,d,e,f)=(1,-2,1,-2,1,-2).

(2)は，(1)が誤りである以上，これでは意味がありません．

(i) あるnについてb[n]=0である場合，
b[n+1]≠0と仮定すると，x^2+a[n]x=0の解がx=0,-a[n]であることから，
a[n+1]=0かつb[n+1]=-a[n].
すると，x^2+a[n+1]x+b[n+1]=0はx^2-a[n]=0となり，
これが整数解を持つことから，a[n]は平方数であり，
a[n+2],b[n+2]は±tと表される．(a[n]=t^2.)
x^2+a[n+2]x+b[n+2]=0，すなわちx^2+tx-t=0が整数解をもつことから，
x=(-t±√(t^2+4t))/2が整数であり，t^2+4tは平方数．
t^2+4t=s^2 (s≧0)とおいて，(t+2)^2-s^2=4から，(t+2+s)(t+2-s)=4.
t+2+sとt+2-sの偶奇が一致することにも注意して，
(t+2+s,t+2-s)=(2,2),(-2,-2)となって，t=0,-4.

t=-4のとき，x^2+tx-t=0の2解はx=-2(重解)であり，
a[n+3]=b[n+3]=-2となるが，x^2-2x-2=0は整数解を持たず，不適．
よって，t=0となり，a[n]=0．
これは，x^2+a[n]x+b[n]=0がx^2=0であったことを意味し，
b[n+1}=0となって，仮定に反する．

よって，あるnについてb[n]=0であれば，b[n+1]=0であり，
以下帰納的に，0=b[n]=b[n+1]=b[n+2]=….

どのnについてもb[n]≠0である場合，
x^2+a[n]x+b[n]=0は0を解に持たず，解は0以外の整数．
|b[n]|=|a[n+1]b[n+1]|≧|b[n+1]|となり，
|b[n]|は増加しない自然数列．
よって，|b[n]|は，その最小値に到達すると，以下はすべて同じ値をとる．

(ii) 結論は，
「a[n]=k(-1)^n,b[n]=0」(kは整数)または「a[n]=1,b[n]=-2」
となります．
(1)と類似の議論ですが，少々めんどうでした．

*熟読玩味ぃ～ですばい ^^;v