19752：6*3^(3x)+1=7*5^(2x) を満たす0以上の整数xは？

問題19752・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

7*25^x-6*27^x>7*25^x-6*25^x=25^x

so...x=1以上では、差は25より大きくなる...

so...あるとすれば、x=0 のときで、

7-6=1で成り立つ ^^

(2)

cos(2θ)=(3/2)cosθ-1

2(cosθ)^2-1=3cosθ/2-1

4t^2-3t=0

cosθ=t=0 or 3/4

^^

↑

ダメダメ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

[1] x=0で(両辺)=7であり，x=2で(両辺)=4375であって，x=0,2は解．
また，x=1のとき，(左辺)=163,(右辺)=175で解でなく，
x=3のとき，(左辺)=118099,(右辺)=109375で(左辺)>(右辺)>100000.
以下，xを1ずつ増やすと，
「左辺は27倍して26を引くことになり，右辺は25倍することになる」
ことから，x=4,5,6,…に対して(左辺)>(右辺)>100000が帰納的に成り立つ．
以上より，解はx=0,2. 

[2] cosθ=t=0,3/4のとき，確かにcos2θ=(3/2)cosθ-1は成立しますが，
「cos(n+1)θ=(3/2)cos nθ-cos(n-1)θ」が成立する保証はありません．

cos(n+1)θ=(3/2)cos nθ-cos(n-1)θを変形して，
cos(n+1)θ+cos(n-1)θ=(3/2)cos nθ.
2cos nθcosθ=(3/2)cos nθ.
(cos nθ)(2cosθ-3/2)=0.
cos nθが自然数nの値によらず0となるようなθはないから，
これがすべてのnについて成り立つとき，cosθ=3/4.

*[1]は難しいわ ^^;

[2]は基本的な問題で解けなきゃいけませんでした ^^;;

[スモークマン]

＞7/25.11:16pmの鍵コメT様へ ^^
7*25^x-6*27^x>7*25^x-6*25^x=25^x これは嘘でしたわ ^^;
(2)
>cos(n+1)θ+cos(n-1)θ=(3/2)cos nθ.
>2cos nθcosθ=(3/2)cos nθ
に気づけませんでしたわ ^^;

紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v