19761：2^a+3^b+1=6^c...整数解...^^;

問題19761(友人問)

2^a+3^b+1=6^c　をみたす正の整数の組(a,b,c)を全て求めよ。

解答

・わたしの...

1/2+1/3+1/6=1

1-1/6=5/6

5=2+3・・・(a,b,c)=(1,1,1)

1-1/36=35/36

35=8+27・・・(a,b,c)=(3,3,2)

    =32+3・・・(a,b,c)=(5,1,2)

これでは埒が明かない...^^;...

・鍵コメT様からの巧い解法 Orz〜

3^2=9は8で割って1余るから，
3^bを8で割った余りは，bが奇数であれば3，bが偶数であれば1．
よって，3^b+1は8で割って4または2余り，これは8の倍数ではない．
3^b+1=6^c-2^aより，「a,cがともに3以上」とはならない．
つまり，a=1,a=2,c=1,c=2の少なくとも1つが成り立つ．

a=1のとき，3+3^b=6^c.
左辺は3で1回だけ割り切れ，c=1以外の解はあり得ないから，b=c=1.

a=2のとき，5+3^b=6^c.
左辺は3の倍数でないから，解なし．

c=1のとき，2^a+3^b+1=6だから，2^a<5,3^b<5であり，
a=b=1だけが解の候補であり，実際にそれが解．

c=2のとき，2^a+3^b+1=36だから，2^a<35,3^b<35であり，
aの候補は1,2,3,4,5，bの候補は1,2,3に限る．
この組み合わせを順次試して，解は(a,b)=(3,3),(5,1).

以上より，
(a,b,c)=(1,1,1),(3,3,2),(5,1,2).

*なるほどねぇ ^^;♪

[スモークマン]

＞7/26.8:57pmの鍵コメT様へ ^^
なるほど...巧いものですね☆
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v