19774：(a+2)^p-a^p を2pで割った余りは？...基本 ^^

問題19774・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

pCk...k=1〜(p-1)の場合は分子にpが残るので...pの倍数

(2)

pCk*2^k...k=1〜pまでなので...偶数

(3)

最後の、2^p/(2P)=2^(p-1)/p

ね ^^

↑

(3)はおかしかったわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(3) 「割ったときの余り」は整数になります．
2^(p-1)/pは，pが3以上の素数であれば，整数にはなりません．

(2)より，(a+2)^p-a^pは2で割り切れる．
また，(1)より，(a+2)^p-a^p-2^pはpで割り切れるから，
(a+2)^p-a^pをpで割った余りは，2^pをpで割った余りと一致する．

2^pをpで割った余りは，p=2のときは0であり，p≧3のときは2であるから，
求める余りは，p=2のとき0，p≧3のとき2．

*p≧3のとき，2^(p-1)≡1 (mod p)だからこそ2^p≡2 (mod p)です．

これより，(a+2)^p-a^pは，「偶数かつ，pで割って2余る」ことになります．
このことから，2pで割った余りは2に確定します．

なお，2^(p-1)≡1 (mod p)から直接2^p≡2 (mod 2p)とすることは可能です．

*了解でっす ^^♪

[スモークマン]

＞7/28.9:28pmの鍵コメT様へ ^^
そっか...^^;
but...2pで割った余りだから...2^(p-1)≡1 (mod p≠2) になりませんでしょうかしらん？...^^;...

[スモークマン]

＞1:07amの鍵コメT様へ ^^
2^pをすでに2で割った後は、pで割るだけにはならないのかいなぁ...^^;
いい加減にしかわかってないわたしだぁ...^^;;
とりあえず、今日は店じまいってことですみません...Orz...

[スモークマン]

＞1:29amの鍵コメT様へ ^^
2^p=2*(2^(p-1)=2*(pm+1)=2pm+2
so...2^pを2pで割った余りは...2
と鈍なわたしはやっとこ気づけましたわ ^^;v
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v