19778：証明...(n^2+1)(5n^2+9)は平方数でない。

夏休みで、孫が帰ってきた...悪魔はなりを潜めてたわ ^^;v

問題19778・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1)

5n^2+9-5(n^2+1)=4

n^2+1と4の最大公約数...n=1 の時、2

(2)

n^2+1 と 5n^2+9 の最大公約数が2なのだから...あるとしたら...4m^2

n^2≡0,1 (mod 4)

n^2+1≡1 or 2

5n^2+9≡1 or -1

これらの積は4m^2≡0 になれないので無理あるね ^^

↑

なってない ^^;

３回目の出場だったってのに...Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1) nによって最大公約数は異なります．
(2) 最大公約数の値によって場合分けが必要です．
また，最大公約数が2であるとして，5n^2+9≡1 or 2が正しいです．
(そもそも5n^2+9≡1 or -1であれば，5n^2+9は奇数であり，
最大公約数は2にはなり得ません．してみると，
最大公約数が2であるときは，n^2+1≡2，5n^2+9≡2 (mod 4)です．)

2数がともに，4を法として2と合同であるとして，
それは積が4m^2とならない根拠とはなりませんね．

けっこう最近の，問題19579(https://blogs.yahoo.co.jp/crazy_tombo/folder/931624.html?m=lc&sv=19579&sk=0 参照) です．

*次出たら...完全にボケたと思ってくらはいまし...^^;;...

[スモークマン]

＞4:46pmの鍵コメT様へ ^^
またしても同じ轍を...何回踏んでも懲りないわたしだす ^^;
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v