19781：(1+i)^n+(1-i)^n>10^10を満たす最小の正の整数nは？

シマウマが大好きな理由がよくわからん ^^...

問題19781・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

(1+i)^2=2i

(1-i)^2=-2i

so...

(1+i)^4=-4

(1-i)^4=-4

so...

(1+i)^8=16

(1-i)^8=16

2*(2^4)^(n/8)=>10^10

2^34-10^10>0 のとき初めてなる...これって手計算できるのかしらん...^^;

so...

33<=4*m・・・・8m=n

m=9

so...

n=72

になるはずね ^^

↑

精緻じゃなかった ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz〜

(1+i)^nが正の実数となるのはnが8の倍数のとき限定ですが，
(1+i)^nと(1-i)^nは互いに共役であることから，
その和は(1+i)^nの実部の2倍であり，必ず実数となります．
つまり，nが8の倍数でなくても，題意の不等式は成立する可能性があり，
その場合も調べる必要があります．

(1+i)^nの偏角は，
n≡0 (mod 8)で0，n≡±1 (mod 8)で±π/4，n≡±2 (mod 8)で±π/2，
n≡±3 (mod 8)で±3π/4，n≡4 (mod 8)でπであり，
その実部が正となるのはn≡0,±1 (mod 8)の場合に限る．
(1±i)^8=2^4=16であることに注意して，
n=8kのとき，(1+i)^n+(1-i)^n=16^k+16^k=2^(4k+1).
n=8k+1のとき，(1+i)^n+(1-i)^n=(16^k)(1+i)+(16^k)(1-i)=2^(4k+1).
n=8k-1のとき，(1+i)^n+(1-i)^n=(16^k)/(1+i)+(16^k)/(1-i)=2^(4k). 

2^10=1024であり，10^6<2^20<1.1*10^6,10^9<2^30<1.2*10^9であり，
2^33=(2^30)*8<10^10，2^34=(2^30)*16>10^10とわかることから，
2のべき乗がはじめて10^10を超えるのは2^34であり，
n=8k-1でk=9のとき，つまりn=71が求める最小のnとなります． 

*4*9=36>34 だからですね ^^v

お気に入りぃ〜^^♪

[スモークマン]

＞0:46amの鍵コメT様へ ^^
なるほど!!
大小の比較も巧いものですねぇ☆
紹介させていただきまっす〜m(_ _)m〜v