19783：0<θ<π/2,cos(θ)は無理数,cos(2θ),cos(3θ)は有理数...θ=？

問題19783・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より 引用 Orz〜

解答

・わたしの...

cos(θ)=t

cos(2θ)=2t^2-1=q/p

cos(3θ)=cos(2θ)*cos(θ)-sin(2θ)sin(θ)

            =(2t^2-1)t-2t(1-t^2)

            =4t^3-3t

            =t(4t^2-3)=√((q/p+1)/2)*(2(q/p+1)-3)

so...

tが無理数,t^2=(q/p+1)/2は有理数になる

so...4t^2-3=0

t^2=3/4

so...0<t<1 から...t=√3/2

so...

θ=30°=π/6

^^