19790：35x+91y+65z=3 を満たす整数の組(x,y,z)の中でx^2+y^2の最小値は？...

昨日の研究会は面白かったわ♪

関連話のアップはまたいずれ ^^v

問題19790・・・http://officeklu.s502.xrea.com/2014mondai/ より引用 Orz～

解答

・わたしの...

(1)

-91*7=-637

640/5=128

7m+13n=128=7*9+13*5

35*9=315

65*5=325

91*7=637

so...

(x,y,z)=(9,-7,5)

(2)

91*3=273

-270/5=-54

7m+13n=-54

7*4+13*2=54

so...

35*(-4)+91*3+65*(-2)=3

so...

Min{x^2+y^2}=4^2+3^2=5^2=25

ね ^^

↑

(2)はもっと小さいものがあるのですねぇ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

(1)は正しいですが，(2)は誤りです．
次の方法が早いと思います．

35x+91y+65z=3において，
・13で割った余りに着目すると，9x≡3 (mod 13)，3x≡1 (mod 13)
となり，12x≡4 (mod 13)，つまり -x≡-9 (mod 13)となって，
xは13で割って9余る．
・5で割った余りに着目すると，y≡3 (mod 5)となって，
yは5で割って3余る．

逆に，13で割って9余るx，5で割って3余るyを定めると，
35xは65で割って55余り，91yは65で割って13余るから，
3-(35x+91y)は65の倍数となって，方程式を満たす整数zが求まる．

例えばx=-4,y=-2とすればよく，このときz=5となる．
(1) (x,y,z)=(-4,-2,5).
(2) x=-4はx^2を最小にする整数xで，y=-2はy^2を最小にする整数yである．
よって，このときx^2+y^2は最小となる．
(x,y,z)=(-4,-2,5),最小値は20.

*そっか...-4+13=9, -2+5=3 だから...最小なのね ^^;♪