19885：四角形の5等分...クイズ ^^

問題19885・・・やどかりさんのブログ https://okayadokary.blog.fc2.com/?no=3584#comment より Orz〜

四角形ABCDの 辺BC上に Bに近い方から 点P，点Q をとり、辺AD上に 点R をとって、線分AP，線分PR，線分RQ，線分QD で分けると、面積が５等分されました。

　AR：RD＝8：13 のとき BP：PQ：QC＝？

解答

上記サイト https://okayadokary.blog.fc2.com/?no=3588#comment より Orz〜

[解答1]

　右上図のように、三角形の辺を a：m：n ，b：p：q に分ける点を結んで、

　水色で示される４個の三角形の面積が等しくなるようにします。

　ab ，a(b＋p) ，(a＋m)(b＋p) ，(a＋m)(b＋p＋q) ，(a＋m＋n)(b＋p＋q) は等差数列になるので、

　公差は ap＝m(b＋p)＝(a＋m)q＝n(b＋p＋q) となります。

　ap＝(a＋m)q より a(p−q)＝mq 、n(b＋p＋q)＝m(b＋p) より nq＝(b＋p)(m−n) になり、

　ap＝m(b＋p) より ap(p−q)(m−n)＝m(b＋p)(p−q)(m−n) だから、

　a(p−q)＝mq ，nq＝(b＋p)(m−n) を代入して、

　mpq(m−n)＝mnq(p−q) 、p(m−n)＝n(p−q) 、mp−np＝np−nq 、

　mp＝n(2p−q) とすれば n：m＝p：(2p−q) 、

　qn＝p(2n−m) とすれば p：q＝n：(2n−m) になります。

　四角形BQDAに適用して、BP：PQ＝13：(2･13−8)＝13：18 、

　四角形CPDAに適用して、CQ：QP＝8：(2･8−13)＝8：3＝48：18 、

　よって、BP：PQ：QC＝13：18：48 です。

[解答2] スモークマンさんのコメントを参考に

　右下図のように、比を 右から m：n ，p：q とし、水色の４個の三角形の面積を S とします。

　緑の部分の面積は (m/n)S＋(q/p)S＝2S ですので、m/n＋q/p＝2 になります。

　( m/n＋q/p＝2 の m/n ，q/p 分子は緑の部分です )

　よって、四角形ABQDに着目すれば、QP/PB＋8/13＝2 、QP/PB＝18/13 、BP/PQ＝13/18 であり、

　四角形PCDAに着目すれば、PQ/QC＋13/8＝2 、PQ/QC＝3/8＝18/48 だから、

　BP：PQ：QC＝13：18：48 です。

*わたしの解法をより一般的に紹介していただいたようで嬉し♪

清書してたのが紛失...^^;

2-13/8=3/8

3/8:1=3:8=PQ:QC

2-8/13=18/13

1:18/13=13:18=BP:PQ

so...

13:18

       3:8

so...

39:54:144

so...

BP:PQ:QC=13:18:48 ♪

[スモークマン]

↑
やどかりさんの解答がアップされました♪

[スモークマン]

＞8/19.7:30pmの鍵コメY様へ ^^
インフォグラッチェ!!
そうなのですねぇ...^^;
今月で、新たな投稿はおしまいになるわけですか...^^;;

最近、運動不足のせいだろうと思うのですが...持病の腰痛が出てきて...カロナール飲むことが多い日々が続いてます...腰痛でますます動かないという悪循環トルネードの嵐...^^;;;
and...一仕事済んで精神が弛緩してるのもあるのよねぇ...^^;;;
but...重い腰をボツボツあげなきゃいけないか...Orz〜
問題数を切りのいい20000までアップできればという思いでいますが...^^
うまくいけばいいのだけれど...?...