19957：碁石をとある規則で白黒交互に並べる...クイズ ^^

問題19957・・・http://www.sansuu.net/yonkakomon/yonq/yon184q.htm より引用 Orz～

白と黒の碁石がたくさんあります。これを白黒交互に使って、図のような規則で正方形の形にならべていきます。

（１）１９番目の図には、黒の碁石がいくつありますか。
（２）１つ前の図より碁石が３３個増えるのは何番目の図ですか。
（３）白の碁石と黒の碁石の個数の差が３０個になるのは何番目の図ですか。

解答

・わたしの...

(1)

19+1=20

白よりも常に2個多い...

so...

(20^2+2*19)/2=200+19=219個

(2)

n^2-(n-1)^2=33

2n=34

n=17

so...16番目

(3)

30/2=15番目

^^

↑

不味かったです ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様からのもの Orz～

(1) 「白，黒のセット」においては，確かに黒は常に白より2個多いのですが，
そのセットは，1番目，3番目，5番目のように，奇数番目にのみ発生し，
19番目には，10セットだけ存在しています．
よって，求める個数は(20^2+10*2)/2=210(個)となります．

・・・でしたわ ^^;

(2)は正しいです．

(3) 15セットできる図が問われているので，「29番目」が結論です．

次のような見方もできます．

同じ色の石が折れ曲がって配置されている部分を，
「できるだけ長い横」と「残りの縦」に分けて考えることにする．
・1番目は白1個，黒1+2個
・2番目は白1+2+3個，黒1+2個
・3番目は白1+2+3個，黒1+2+3+4個
などのようになる．
(1) 求める個数は，1+2+3+…+19+20=20*21/2=210(個).
(2) n番目は n+(n+1)個増える．これが33だから，16番目．
(3) 黒が多いのは奇数番目で，n番目ならn+1個だけ多いから，29番目．

*(n+1)^2-n^2=2n+1 だけ増えるわけでしたのね...^^