19996：各位の数字の平方の和を繰り返す...クイズ ^^

問題19996・・・http://www.sansuu.net/kfkakomon/kfq/kf042q.htm より 引用 Orz〜

次の例のように整数の各位の数を２回かけて加える作業をくり返します。

[例]１番目の数を１６とすると、２番目は１×１＋６×６＝３７、３番目は３×３＋７×７＝５８

（１）１番目の数を４２とするとき、２番目から１０番目の数を書きなさい。

　　　また、１００番目の数は何ですか。
（２）１番目の数を５とするとき、２番目から１０番目の数を書きなさい。

　　　また、１００番目の数は何ですか。 

解答

・わたしの...

(1)

42-20-4-16-37-58-89-145-42-20

so...

8周期...

100/8=12...4

so...16

(2)

5-25-29-85-89-145-42-20-4-16

so...

(100-6)/8=11...6

so...58

^^

必ず周期になることは...どう言えばいいのかしらん？

4から始まるものより長い周期になるものってあるのかいなぁ...?

・鍵コメT様からのコメント頂戴♪

必ず周期になることは，次のように示されます．

n桁の自然数から操作をすると，捜査結果の数は高々81nであり，
4桁以上の数は必ず減少する．
よって，操作を何度か繰り返すと，いずれは3桁以下になり，
それ以降は3桁以下の数しか登場しない．
3桁以下の自然数は999種類しかないから，
3桁以下となってから999回操作をして1000個目の数を作ると，
1000個の内に必ず同じものが2回以上登場し，
そこからは周期的に数は推移する．

4からのループ「4-16-37-58-89-145-42-20-4」より長いものがあるかどうかは，
999以下の数からはじめてどうなるかをプログラムなどで調べればわかります．
やってみたところ，これよりも長いループはなく，
またこれと同じ長さのループも他にはありませんでした．

*出題者はこのことをご存知だったのかしらん...^^...?

[スモークマン]

＞4:26pmの鍵コメT様へ ^^
なるほど!!
nが4桁の時、4*100=400未満の数になるからですね ^^
(実際は、4*9^2)
4からのループが最長というサーチ結果もありがとうございました☆
平方数の和は mod 4で、0 or 1 or 2 しかないことと関係してるのかしらん？

実際に調べる個数は...数字の順番が異なっていてもいいので...
(10^3-10-2*3*90)/3!+(10-1)+2*90=279個調べればいいですのよね ^^

追記させていただきまっす〜m(_ _)m〜v