19997：分数列の和...クイズ ^^

問題19997・・・http://www.sansuu.net/kfkakomon/kfq/kf132q.htm より引用 Orz～

分数を次のようにならべました。

　１/２，１/４，３/４，１/６，３/６，５/６，１/８，３/８，５/８，７/８，１/１０，……

ならべ方の規則を考え、次の問いに答えなさい。

（１）１１/１２は何番目の分数ですか。
（２）９１番目の分数は何ですか。
（３）１番目から９１番目までの分数の和を計算しなさい。
（４）１番目から順にある分数まで足し合わせると、和が３０３/１１になりました。

　　　この最後の分数は何番目ですか。

解答

・わたしの...

(1)

分母=偶数

分子=奇数

2,4,6,8,10,12

1,2,3,4,5,

1+2+3+4+5+6=3*7=21番目

(2)

n(n+1)/2...13*14/2=91

so...

13/14 まで...

1/2

1/4+3/4=1

1/6+3/6+5/6=1+1/2

1/8+3/8+5/8+7/8=2

1/10～9/10=2+1/2

1/12～11/12=3

1/14～13/14=3+1/2

so...

2(1+2+3)+4/2=14

(3)

303/11=27+6/11

1/16～15/16=4

1/18～17/18=4+1/2

1/20～21/20=5

ここまでで、14+13+1/2=27+1/2

6/11-1/2=1/22

^^

↑

おかしかったわ ^^; Orz...

↓

・鍵コメT様のエレガントな解答 Orz～♪

(2) 91=13*14/2=1+2+3+…+13だから，26を分母とする分数の最後が91番目．
つまり，結論は「25/26」です．

(3) (「解答」は，(2),(3)が合体してしまっているようです)
各分母ごとに，合計は1/2,2/2,3/2,…,13/2となり，
合計は，(1+2+3+…+13)/2=91/2です．
(別解) 各分母ごとに，平均は1/2だから，全体の平均も1/2です．
合計は，(1/2)*91=91/2となります．・・・ナイスですねぇ ^^♪

(4) 「1/22までの和」で正しいですが，
問われているのは「それが何番目か」です．
分母が20までについて，個数は1+2+3+…+10=55(個)だから，
結論は「56番目」です．

なお，「各分母ごとの平均」は，途中までだと1/2より小さくなるので，
全体の平均は，常に1/2以下となります．
(303/11)/(1/2)=606/11=55+1/11だから，項数は55よりは多いはずで，
第55項までが，平均1/2，合計55/2となり，303/11-55/2=1/22から
結論を得ることもできます．・・・Good Job♪