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問題111（みっちの隠れ家の掲示板で小６の堤真人さんからの提示問）
半径１の円に内接する三角形ABCに対して、AB^2+BC^2+CA^2≦9を示しなさい。
解答
・ダンディ海野さんの解法
円の中心をO、角AOB=α 、角BOC=β、角COA＝γ とおくと余弦定理より
AB^2＝AO^2+BO＾2-2*AO*BO*cosα＝2-2*cosα おなじく
BC^2＝2-2*cosβ CA^2=2-2*cosγ
よって AB^2+BC^2+CA^2＝6-2*（cosα+cosβ+cosγ）・・・（1）
cosγ=cos（2π-(α+β))=cos(α+β)=2*(cos((α+β)/2))^2-1 公式より
cosα+cosβ+cosγ＝2*cos((α+β)/2)*cos((α-β)/2)+2*(cos((α+β)/2))^2-1
cos((α+β)/2)＝ｔ とおくと
＝2*t^2-2*t*cos((α-β)/2)-1
=2*(t-cos((α-β)/2)/2)^2ー（1/2）*(cos((α-β)/2))^2-1
>=-（1/2）*(cos((α-β)/2))^2-1 ...cos((α-β)/2))^2 ＜=1 より
>=-1/2-1=-3/2
これを（1）式にほうりこむと
AB^2+BC^2+CA^2＜＝6-2*（-3/2）＝9
・uchinyanさんの解法
円の中心を O とします。
AB^2 = AB・AB = (OB - OA)・(OB - OA) = OA・OA + OB・OB - 2 * OA・OB = 2 - 2 * OA・OB
BC^2 = 2 - 2 * OB・OC
CA^2 = 2 - 2 * OC・OA
なので，
AB^2 + BC^2 + CA^2 = 6 - 2 * (OA・OB + OB・OC + OC・OA)
ここで，
(OA + OB + OC)^2 = (OA + OB + OC)・(OA + OB + OC) = 3 + 2 * (OA・OB + OB・OC + OC・OA)
- 2 * (OA・OB + OB・OC + OC・OA) = 3 - (OA + OB + OC)^2
なので，
AB^2 + BC^2 + CA^2 = 9 - (OA + OB + OC)^2 <= 9
ただし等号は OA + OB + OC = 0ベクトル ですが，これは，△ABC が正三角形のときに可能です。
確か，2006年の京大後期理系の４に類題があります。あちらの方が難しいかな。
うまく解けるものですね (^^)
結局、cosα+cosβ+cosγ の最小値は、3cos2π/3=-3/2 （正三角形の時）だってことが分かりますね。 Orz〜
ちなみに、当たり前ですが、、、cosα+cosβ+cosγ の最大値は、、、
図形的には、(OA+OB+OC)^2 の最大は、限りなく 3^2 に近づきますよね？
だから、cosα+cosβ+cosγ の最大値は、3 に限りなく近づきますね！？
3*cos0=3 に合致しますね〜 (^^)v
AB^2+BC^2+CA^2＝6-2*（cosα+cosβ+cosγ） からしても、当然ですね。
限りなく1点に収束するので、AB^2+BC^2+CA^2＝0 に近づくのって当たり前ですものね (^^;
-3/2 <= cosα+cosβ+cosγ < 3 ってことですね。0rz〜
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