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問題446
3ケタの整数の中で、
・その数どうしをかけ算してから280で割ると1だけあまる
ような整数はいくつあるでしょうか。
例えば、「100」という整数は、「100×100=10000で、10000÷280=35あまり200」となり、条件をみたしません。
解答
・わたしの
x^2-1=280*y
(x-1)(x+1)=2^3*5*7*y
x-1 か、x+1 が、
ここで、右辺は偶数なので、x-1 も x+1 も偶数なので、
・5*7*2 を因数に持つ3桁の数。
・5*7*2^2
・5*2 と 7*2 を因数に持つ数に分かれる。
の3通り。
まず、・5*7*2 を因数に持つ3桁の数の場合。
5*7*2 *2,*3,・・・*14 の13種類。
それぞれに対し、x は2種類あるので、2*13=26 個
次に、5*7*2^2 を因数に持つ3桁の数の場合。
5*7*2^2 *1,*2,*3 しかなく、しかも、上の中に3個とも含まれる。
次に、・5*2,7*2 を別々に持つときは、
x の下一桁は、明らかに、1か9
つまり、x-1,x,x+1 の並びは、..0,..1,..2 か、..8,..9,..0 になっているはず。
..0 は5*2 の方だから、..2 と..8 の方が7の倍数。
..2 のとき、100a+10b+2=7y つまり、2a+3b+2=7z で、a=1~9 のときこの式を満たすbを求めればよい。
(a,b)=(1,1),(1,8),(2,5),(3,2),(3,9),(4,6),(5,3),(6,4),(6,7),(7,4),(8,1),(8,8),(9,5) の 13個
..8 のとき、100a+10b+8=7y つまり、2a+3b+1=7z で、a=1~9 のときこの式を満たすbを求めればよい。
(a,b)=(1,6),(2,3),(3,0),(3,7),(4,4),(5,1),(5,8),(6,5),(7,2),(7,9),(8,6),(9,3) の12個
合計=26+13+12=51個
やっと正解に辿り着けました・・・^^;v
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