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問題371（某サイト問）
方程式 x ^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx − 2x − 2y − 2z = 0
の整数解 (x, y, z) の組をすべて求めよ。
解答
・わたしの
(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=x^2+y^2+z^2-2x-2y-2z+3 なので、
x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx-2x-2y-2z=(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2-3+xy+yz+zx
つまり、
(x-1)^2+(y-1)^2+(z-1)^2=3-(xy+yz+zx)
(x,y,z)>=0 のとき、
右辺=0 のとき、
左辺=0+0+0 なので、(x,y,z)=(1,1,1) で、右辺も0．
右辺=1 のとき、
(x-1)^2=1,y=1,z=1 なので、x=0,2 だが、x=0 のとき、右辺=2 となり成り立たず。
X=2 のときも、右辺=-2 で成り立たず。
右辺=2 のとき、
(x-1)^2=1,(y-1)^2=1,z=1 なので、x=0,2 y=0,2 z=1 だが、
(0,0,1) のとき、右辺=3 で成り立たず。
(0,2,1) のとき、右辺=1 で成り立たず。
(2,2,1) のとき、右辺=-5 で成り立たず。
右辺=3 のとき、
(x-1)^2=(y-1)^2=(z-1)^2=1 なので、
(0,0,0) のときは成立。
(0,0,2) のときも成立。つまり、(x,y,z)=(0,0,2),(0,2,0),(2,0,0)
(0,2,2) のとき、右辺は、-1 で成り立たず。
(2,2,2) のとき、右辺は、-9で成り立たず。
(x,y,z)<0 のときは、与式は正なので成り立たず。
x だけが負のとき、
(x-1)^2>=4 なので、
(y-1)^2+(z-1)^2>=-1-(-y+yz-z) を満たすはず。
つまり、y+z-yz>=1 になるはず。
しかし、y(1-z)-(1-z)=(y-1)(1-z)>=0 のはずだが、y,z は、0以上の整数なので、y-1>=0,1-z>=0 なら、y>=1,1>=z>=0 から、z=0,1
また、y-1<=0,1-z<=0 なら、0<=y<=1,1<=z から、y=0,1
y,z は対称なので、z=0,1 のときを考える。
x ^2 + y^2 + z^2 + xy + yz + zx − 2x − 2y − 2z = 0 から、
・z=0 のとき、
x^2+y^2+xy-2x-2y=0
x^2+x(y-2)+y^2-2y=x^2+x(y-2)+(y-1)^2-1=0
(x+(y-2)/2))^2=(y-2)^2/4-(y-1)^2+1=(y^2-4y+4-4y^2+8y-4+4)/4
=(-3y^2+5y+4)/4=(y(5-3y))/4+1
y=0のとき、右辺=1=(x-1)^2 から、x-1=+-1,x=0,2
y=1 のとき、右辺は3／4=(x-1/2)^2 で、√3が出るため解なし。
y=2 のとき、右辺は0、そのとき x=0
y=3 のとき、5/4-4 となり、マイナスになるため、解なし。
・z=1 のとき、
x^2+y^2+1+x+y+xy-2x-2y-2=(x-1)^2+(y-1)^2-3+xy
(x-1)^2+(y-1)^2=3-xy
(x-1)^2+(x-1)y=3-y-(y-1)^2
((x-1)+y/2)^2=3+y^2/4-y-(y-1)^2=2+y-3y^2/4=2+y(1-3y/4)
y=0,1・・・2以上だと右辺が負になる。
y=0 のとき、x-1=2 このとき、x が負に反している。
y=1 のとき、(x-1/2)^2=9/4 から、x-1/2=-3/2 から、x=-1 このときたしかに満たす。
結局、
(x,y,z)= (0,0,0),(1,1,1),(0,0,2),(0,2,0),(2,0,0),(-1,1,1),(1,-1,1),(1,1,-1)
疲れました。。。^^;v
多分もっとエレガントな解法がきっとあるはずだ。。。
だって、解き方が野暮すぎるでしょ？^^;
画像：予防接種の帰りの土手で霞みがかった青空に映える桜をシャメしました。^^v
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