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問題444
正方形Rnは1辺が1/nである。
さて、R2、R3、R4、..という無限個の正方形を1辺が1の単位正方形の中に重ねることなく並べるにはどのようにすればよいか。
解答
R2、R3は1列目、R4からR7までは2列目、R8からR15までは3列目、、、
といれていく。各列下ほど隙間ができるが、とにかく重ならない。
なるほど♪
横:1/2+1/4+1/8・・・=1 で、1 を越えないし、
縦:1/2^m+1/(2^m+1)+1/(2^m+2^m-1)<1/2^m*2^m=1 で、1 を越えないからね ^^v
図がアップできませんでしたが、、、分かりますよね ^^
・dobaさんからのもの Orz〜
以下R2,R3…をR(2),R(3)…と書きます。
長辺が2/(2^n)、短辺が1/(2^n)の長方形をT(n)
1辺が1/(2^n)の正方形(すなわちR(2^n))をS(n)とすると、
1辺が1の正方形は、2つのT(1)に分けられ、
T(1)は2つのS(1)に分けられ、
S(1)は2つのT(2)に分けられ、
…
T(n)は2つのS(n)に分けられ、
S(n)は2つのT(n+1)に分けられ、
…
というようにして、
1辺が1の正方形を、
1個ずつのT(1),S(1),T(2),S(2),…,T(n),S(n),…
に無限分割することができます。
さらに、
T(n)は、R(2^(2n-1))を2^(2n-1)個に分割でき、
S(n)は、R(2^(2n))を2^(2n)個に分割できます。
以上より、1辺が1の正方形は、
T(1)の領域を、R(2)×2個に、
S(1)の領域を、R(4)×4個に、
T(2)の領域を、R(8)×8個に、
S(2)の領域を、R(16)×16個に、
…
T(n)の領域を、R(2^(2n-1))×2^(2n-1)個に、
S(n)の領域を、R(2^(2n))×2^(2n)個に、
…
というように分割できることになります。
そこで、
2個のR(2)のそれぞれの中に収まるように、R(2)〜R(3)を、
4個のR(4)のそれぞれの中に収まるように、R(4)〜R(7)を、
8個のR(8)のそれぞれの中に収まるように、R(8)〜R(16)を、
…
2^m個のR(2^m)のそれぞれの中に収まるように、R(2^m)〜R(2^(m+1)-1)を、
…
というように順次配置すれば、
R(2),R(3),…という無限個の正方形を、
重ならないように並べることができます。
同じ意味だと理解しました。^^v
・uchinyanさんのもの
>直線状に並べたら発散するのに、それを分割して並べていくと収束することがたしかに言えるなんて、、、無限って不思議です。v (わたしのコメント)
えと,今問題になっているのは辺の長さではなく面積なので,
S = (1/2)^2 + (1/3)^2 + (1/4)^2 + ...
の方でしょう。これは,ζ関数を使って,
S = (1/2)^2 + (1/3)^2 + (1/4)^2 + ... = ζ(2) - 1 = π^2/6 - 1 < 3.15^2/6 - 1 = 0.65375 < 1
と評価できるので,うまく配置すればできそうだな,という感じはつかめます。そして実際,
(1/2)^2 + (1/3)^2 = 1/4 + 1/9 < 1/4 * 2 = 1/2
(1/4)^2 + (1/5)^2 + (1/6)^2 + (1/7)^2 = 1/16 + 1/25 + 1/36 + 1/49 < 1/16 * 4 = 1/4
(1/8)^2 + (1/9)^2 + (1/10)^2 + (1/11)^2 + (1/12)^2 + (1/13)^2 + (1/14)^2 + (1/15)^2 = 1/64 + 1/81 + 1/100 + 1/121 + 1/144 + 1/169 + 1/196 + 1/225 < 1/64 * 8 = 1/8
...
より,
S = (1/2)^2 + (1/3)^2 + (1/4)^2 + (1/5)^2 + (1/6)^2 + (1/7)^2 + (1/8)^2 + (1/9)^2 + (1/10)^2 + (1/11)^2 + (1/12)^2 + (1/13)^2 + (1/14)^2 + (1/15)^2
< 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1
なので,この評価式の状況を図形的に表現すればいいようですね。
他にも解はありそうで,四つの正方形に分割し,左から右へ斜め,左下,右上の順に取っていくことを繰り返す,
シェルピンスキー・ガスケットのようなフラクタル的?,な取り方も可能そうです。
・BossFさんのもの
"シェルピンスキー・カーペット"ちゅうのがあります
勉強になるな〜^^v Orz〜
画像をそのうちアップします。v
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