アットランダム≒ブリコラージュ

354

問題354（某サイト問）

x, y, z は正の実数で、xyz = 4 のとき、

(x + y + z) ( x^ 3/( x + y) + y ^3/( y + z) + z^ 3/( z + x )>=18

を示してください。







































解答

・わたしの

x+y=X,y+z=Y,z+x=Z
(X+Y+Z)/2*(x^3/X+y^3/Y+z^3/Z)
=1/2*(X+Y+Z)(x^3*YZ+y^3*XZ+z^3*XY/XYZ)
=1/2*(X+Y+Z)(x^3*YZ+y^3*XZ+z^3*XY)/XYZ
=1/2*(x^3*XYZ+y^3*X^2Z+z^3*X^2Y+x^3*Y^2Z+y^3*XYZ+z^3*XY^2+x^3*YZ^2+y^3*XZ^2+z^3*XZ^2)/XYZ>=3/2*9乗根
(x^9*y^9*z^9)=9/2*(xyz)=9*4/2=18
不等号は相加相乗平均からで、
等号は、それぞれの項が全て等しいときだが、対称性から、
x=y=z=立方根4 のとき、左辺は、3*(立方根4)*3/2*(立方根4)^2=9/2*4=18 で成り立つ。

353

問題353（某サイト問）

以下の方程式を解け。ただし、全て整数とする。

(a _1^2 + 3)/ 4 = a_2
( a_2^2 + 3)/ 4 = a_3
.. .
( a_n^2 + 3)/ 4 = a_1

































解答

・わたしの

与式は、以下のように書き換えられる。
a_1^2+3=4a_2
a_2^2+3=4a_3
・
・
・
a_n^2+3=4a_1

全ての和から、
a_1^2+a_2^2+・・・+a_n^2-4(a_1+a_2+・・・+a_n)+3n
=(a_1-2)^2+(a_2-2)^2+・・・+(a_n-2)^2-n=0
つまり、
(a_1-2)^2+(a_2-2)^2+・・・+(a_n-2)^2=n　となっている。

n=1 のとき、
(a_1-2)^2=1
a_1-2=+-1 から、a_1=1,3
n=k のとき、
(a_1-2)^2+(a_2-2)^2+・・・+(a_k-2)^2=k が成り立つとして、
(a_1-2)^2+(a_2-2)^2+・・・+(a_k-2)^2+(a_(k+1)-2)^2=k+1 となるとすると、
(a_(k+1)-2)^2=1 が成り立つので、
a_(k+1)-2=+-1
a_(k+1)=1,3
つまり、a_1=a_2=・・・=a_n=1,3 のとき成り立つことが分かる。

352

問題352（某サイト問）

a1^2-a2=a3
a2^2-a3=a4
・
・
・
an^2-a1=a2

のとき、a1~an の平均は 0 以上 2 以下であることを証明せよ。
ただし、a1~an は実数とする。







































解答

・わたしの

a1^2+a2^2+・・・+an^2=2(a1+a2+・・・+an)>=0 から、(a1+a2+・・・+an)/n>=0
(a1-1)^2+(a2-1)^2+・・・+(an-1)^2=n
(a1-1)^2=A1,(a2-1)^2=A2,・・・,(an-1)^2=An とすると、
(A1+A2+・・・+An)/n=1
すなわち、Ak=1 となり、(ak-1)^2=1 から、ak-1=1,-1 から、ak=2,0
0<=Σak/n<=2

351'

問題351の解答です。

Pの真裏の点Rまでの距離は22+10=32　または　14＋10＝24　であるから　
PR=24が最長であるように思いますが　じつは　もっと長い点があります。

展開図を考えてみましょう。　

上の図は展開図で　同じ文字は同じ頂点であると考えます（たとえば　AとA'とA''は同じ頂点）
ここで　青い線がPからの長さが24cmのところですからこの円の外の点は　24cmより長い
たとえばP'R=32cmですから　P'R上の点で　Rのちょっと右の点はPからの最短距離が24cmより
長くなります。
求める点は　P'R上にあることは　容易にわかりますから
PQ=P'Qとなる点が求める点となります。

すると　直角三角形PP'Rは３：４：５の直角三角形ですから　PP'=40
PS=20
直角三角形P'QSも３：４：５の直角三角形ですから　P'Q=25　となります。

すばらし〜^^v
ちなみにわたしはピタゴラスで。。。^^;

351

問題351（某サイト問）・・・これが算数問とは、、、恐れ入りました。Orz〜

直方体ABCD-EFGHがあり　AB=14cm　BC=22cm　CG=10cmであるとします。
この一つの面ABCDの真ん中に点Pをとります。
点Qをこの直方体上にとり　点Pと点Qを　できるだけPQの長さが短くなるように　糸で結びます。
このとき　PQが一番長くなるときの長さはいくらになるでしょうか。












































解答

次にアップしますねv