アットランダム≒ブリコラージュ

ゼータ関数1^10

やっとテープが切れました。。。^^v

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/z.htm
「ζ（3）の無理数性
　
　ζ（2n）はπ^2nの有理関数になる，従って，超越数であることはオイラー以来知られていますが，奇数ベキ級数の和ζ（2n+1）についての類似の関係式は何にひとつわかっていませんでした．
　 　つい最近までζ（3）は有理数になるかもしれないと思われていたのですが，ところが，１９７８年に，フランスの無名の数学者アペリ（高校教師だったそうですよ！プロじゃなくってアマチュア！）によってζ（3）の無理数性が示されました．それを補ったのがポールテンです．ζ（3）＝１．２０２０５６・・・に収束するものの，ごく最近までこの値が無理数であることすらわかっていなかったのです．
　
　アペリはζ（3）が無理数であることを示すために，
　　ζ（3）＝Σ１／ｎ^3＝5/2Σ(-1)^(n-1)/n^3(2n,n)
に基づく連分数展開
　　6/ζ（3）＝5-1^6/(117-)2^6/(535-)n^6/(34n^3+51n^2+27n+5)-???
を使いました．ζ（3）が無理数ならば，連分数展開は無限列となります．
　
　アペリが行ったことは，より正確には，漸化式
　　(n+1)^3ｕn+1=(34n^3+51n^2+27n+5)ｕn-n^3ｕn-1
を満たす２つの数列｛ａn｝｛ｂn｝を構成したことです．たとえば，
　　ａn＝Σ(n,k)^2(n+k,k)^2
　　ａ0＝１，ａ1＝５，ａ2＝７３，ａ4＝１４４５，ａ5＝３３００１，・・・
　
　ｂnに対する式も，より複雑ではありますが，同様に構成することができます．
　　ｂn＝Σ(n,k)^2(n+k,k)^2c
　　c=Σ1/m^3+Σ(-1)^(m-1)/2m^3(m,n)(n+m,m)　　
　　ｂ0＝０，ｂ1＝６，ｂ2＝３５１／４，ｂ4＝６２５３１／３６，ｂ5＝１１４２４６９５／２８８，・・・
　 　この漸化式を満たす任意の数列は，
　　Ｃα^(±n)／ｎ^(3/2)
　　（α＝１７＋１２√２＝（１＋√２）^4はｘ^2−３４ｘ＋１＝０の根）
で指数的に増加（減少）することより，直ちに
　　ｂn／ａn　→　ζ（3）
が示されます．
　 　まったく同じ論法を用いて，ζ（2）の無理数性も示すことができます．
　　ζ（2）＝Σ１／ｎ^2＝3Σ1/n^2(2n,n)
　　5/ζ（2）＝3+1^4/(3+)2^4/(25+)n^4/(11n^2+11n+3)+???
　　(n+1)^2ｕn+1=(11n^2+11n+3)ｕn+n^2ｕn-1
　　ａn＝Σ(n,k)^2(n+k,k)
　　ｂn＝Σ(n,k)^2(n+k,k)^2c
　　c=2Σ(-1)^(m-1)/m^2+Σ(-1)^(n+m-1)/m^2(m,n)(n+m,m)　　
　　α＝（１１＋５√５）／２＝｛（１＋√５）／２｝^5はｘ^2−１１ｘ−１＝０の根（黄金比φを用いると，φ^5＝３φ＋２）
　
　興味深いのは，アペリの証明が最先端の研究結果を使ったものではなく，オイラーが解決していたとしても不思議はないとされるような２００年前にはすでにわかっていた定理や手法のみでの証明だったことです．
　 　ζ（3）が無理数であるという証明が発表されたとき，学会場はどよめきの渦に包まれ騒然となったそうですが，アペリは非常に話し下手であり，参加者の多くは半信半疑というよりは懐疑的であったと伝えられています．アペリはマイナーな数学者とされていますが，今から考えると当時主流だった秀才数学者集団，ブルバキに押しつぶされた個性豊かな人物だったようです．」
　

考えてみると不思議なことですよね、、、オイラーさんにも盲点があったなんて、、、
何人も万能じゃないってことですか。。。^^

ゼータ関数1 はこれにてノーサイドでっす。^^v Orz〜

ゼータ関数1^9

ゴールまであとわずか。。。^^
http://www.junko-k.com/collo/collo49.htm#413
水の流れ 　　　ゼーター関数物語（４５）
　　
ゼーター関数ζ（２）物語第１３夜＜特別寄稿＞の始まり、始まり。

さて、レオナルド・オイラーは広範囲に業績を残した １８世紀を代表する数学者であります。 この物語の一部は、１７４８年に発表された 『無限小解析入門』の中に書いてあります。
また、オイラーの数学について語ろうとすると、 いずれにしても彼の論文の全集「オペラ・オムニア」全７３巻にふれないわけにはいきません。 これは彼が生涯に著した８８６篇にもおよぶ論文 （ラテン語、フランス語、ドイツ語などさまざまな言語で書かれています）をおさめたものです。 作品の幅は広く、相当なものでしたから、未発表のまま残されていたものを出版するのに 死後４７年間もかかったと言われています。
それらには偏微分からグラフ理論、複素解析、常微分方程式に至るまで 数学の全領域にそれぞれ新しい方向を示した独創性あふれる論文が入っているのです。 実際、あらゆる数学の分野にオイラーに帰される重要な理論が存在します。
したがって私たちはオイラー定数、オイラーの多項式、オイラー積分等々の存在は もちろん、幾何学ではオイラーの三角形、位相幾何学では、オイラーの標数、グラフ 理論ではオイラーの閉路といった具合にあちこちでその名を見出すことになります。

ここで、「数学の知性」を読んでいて、興味深い問題がありましたので、 紹介します。
それは、ヨハン・ベルヌーイが１６９６年７月にライプニッツの雑誌 “ActaEruditorum”に手強い問題を発表しました。ヨハン自身こう述べています。
『気高く、独創的な精神は知識を増やすための努力を引き出すものであるが、 これを強く刺激するものとしては、難解でしかも役に立つ問題を求め、 これを解くことで名声を獲得し後世に永遠の記念塔を残すこと・・・、 これ以上のものはほとんど考えれない。それは周知のことである。』
ヨハンの考え出した特別問題は大変良い問題でした。
彼は異なる高さにある２点を考えます。 この２点をＡ，Ｂとし、１点がもう１点の真上にないものとします。 これらの２点を結ぶ直線から円弧、波形に曲がりくねったものまで、 もちろん無数にあるわけです。 そこで、この曲線にそってＡからＢへボールを転がし落とすと想像してみて下さい。 ボールが上の点から下の点にたどり着くまでにかかる時間は当然、 曲線の形に関わってくることになります。 ベルヌーイはボールが最も短い時間で転がり落ちる特定の曲線ＡＢを求めよという問題を出して、 数学界に挑戦したのです。 彼はこの曲線をギリシャ語の“最短”と“時間”という語からとって最速降下問題と呼びました。
明らかに最初に考えつくことはＡとＢを結ぶ直線とすることですが、 ヨハンは軽率な判断を未然に防ぐために言っておこう。 実際Ａ点からＢ点を結ぶ最も短い距離は直線ＡＢであるが、 しかしこれは最も短い時間で動く道ではないのである。 私がその曲線ＡＢに与える名称は幾何学者にはよく知られているものである。
ヨハンは数学界に対し解を受け付ける期限を１６９７年１月１日としました。 しかし期限がきたとき彼は１つの解とともに“敬愛なるライプニッツ” から手紙を受け取りました。 ライプニッツは期間が短すぎるとの不公平がでないように当分の間この問題は公開し ておいて、次のイースターまで期限を延ばしたらどうだろう？と丁寧に申し出ました。
さーて、今夜は長ーくなりましたね。 目をこすりながらでもいいですから、最後まで読んで下さい。 皆さんもこの最速降下問題の曲線の名称を考えてください。 答えだけで良いです。 次の夜は本題に入ります。お休みなさい・・・。　

・水の流れ 　　　ゼーター関数物語（４６）
　　
ゼーター関数ζ（２）物語第１4夜の始まり、始まり。

震え上がるような、数の神秘を知るために、 オイラーは生涯数学の研究に余念がありませんでした。 ゼーター関数ζ（ｓ）の値をｓ＝２６まで、求めています。 ここで、その値を紹介します。
ζ（１０）＝（１／９３５５５）π１０
ζ（１２）＝（１／６３８５１２８７５）π１２
ζ（１４）＝（２／３６・５２・７・１１・１３）π１４
・・・・・・
ζ（２６）＝（１３１５８６２／１１０９４４８１９７６０３０５７８１２５）π２６

さて、第１２夜に、「２つの自然数を任意にとるとき、 これらが互いに素である確率を求めよ」と書きました。 題意をはっきりさせます。 任意の２つの自然数は同じであっても 良いですし、（１，１）の組は互いに素とします。 もちろん、（２，２）は互いに素とはいいません。

ここで、任意の２つの自然数の組を（ｘ、ｙ）とします。
コロキウム室NO.263、NO.270、 NO.289を見て下さい。

1. １≦ｘ≦１０，１≦ｙ≦１０のとき、互いに素の組は１００組中６３個あります。
2. １≦ｘ≦１００，１≦ｙ≦１００のとき、 互いに素の組は１００００組中６０８７個あります。
3. ・・・
このｘ、ｙを無限に大きくしたとき、１組の（ｘ、ｙ）が互いに素である確率の極限が 何とオイラーの見つけた究極の和の値ζ（２）に関係しているとは一体誰が発見した でしょうか？教えてください。 後世の数学者でしょうか。 それとも当の本人オイラー自身でしたか。

このゼーター関数物語を投稿していた３月上旬に、 「数学セミナー３月号」に偶然にも、同じ問題がありました。 これは天の声といった驚きでした。
＜教えて頂いた天使さん！ありがとうございます。＞

そこで、今夜の問題です。

1.１つの自然数を任意にとるとき、素数ｐの倍数である確率を求めよ。
2.２つの自然数を任意にとるとき、ともに素数ｐの倍数である確率を求めよ。
3.２つの自然数を任意にとるとき、この公約数が素数ｐとならない確率を求めよ。
4.２つの自然数を任意にとるとき、これらが互いに素である確率を求めよ。


・ゼーター関数物語（４７）Junkoさんのもの Orz〜
　　
(46)ゼーター関数ζ（２）物語第１4夜の 問題に対する解答です。
図1参照。



・水の流れ 　　　ゼーター関数物語（４８）
　　
ゼーター関数ζ（２）物語第１５夜の始まり、始まり。
最後の夜ですから、ちゃんと眠らないで読んでください。 第１４夜に４つの宿題をだしましたね。
これらは、見事に (47) で解かれています。
図2参照。

この値は(29)にある リーマン・ゼーター関数ζ（２）の逆数そのものです。 もう一度この素晴らしい公式を書きます。
図3。
となります。
こんなシンプルな問題の中に、偉大なオイラーの功績が隠されていよう とは思いも寄りませんでしたし、１７世紀後半から、 ヨハン・ヤコブのベルヌーイ兄弟の必死の研究経過も含まれていました。

このきっかけをくださったコロキウム室の多くのco-woｒkerさんに、 このネット上で感謝申し上げます。 誠にありがとうございました。
また、一番参考にし、多くの引用をさせて頂いた 【数学の知性（Ｗ．ダンハム著／中村由子訳）：現代数学社】の関係者の皆さんには 厚くお礼申し上げます。
これをもちましてゼーター関数ζ（２）物語の幕を下ろさせて頂きます。 明日はちょうど満月に当たります。 仕事をしたーという充実感に満足しつつ、 満天の夜空に輝く１つ１つの星と数学の至高の美を眺めることにします。 また、何かの折りにお会いできることを楽しみにしつつ、Ｇｏｏｄ　ｎｉｇｈｔ！


大変刺激に満ちたおもしろ楽しい話しをありがとうございました。^^
このサイトに出会えて少しは視野が広がりましたこと、、、この場をお借りしてお礼申し上げます。Orz〜v

・ ゼーター関数物語（４９）月の光さんのもの Orz〜

・ゼーター関数物語（５０）月の光さんのもの Orz〜

ゼータ関数1^8

流石にトンネルの出口が見えてきました。。。^^;

http://www.junko-k.com/collo/collo49.htm#413
水の流れ 　　　ゼーター関数物語（４３）
　　
ゼーター関数ζ（２）物語第１2夜の始まり、始まり。
皆さんはゼーター関数ζ（２）、ζ（４）、ζ（６）、ζ（８）の値を 実際に求めたことでしょう。
ここで、確かめておきましょう。
ζ（２）／π２＝１／６
ζ（４）／π４＝１／９０
ζ（６）／π６＝１／９４５
ζ（８）／π８＝１／９４５０
・・・となります。計算に自信のある人はζ（１０）以降に取り組んでください。

さて、数学的センスのある皆さんは有限個の文字について、

ａ_１^２＋ａ_２^２＋ａ_３^２＋ａ_４^２＋・・・＋ａ_ｎ^２

　　＝（ａ_１＋ａ_２＋ａ_３＋ａ_４＋・・・＋ａ_ｎ）^２−２（ａ_１・ａ_２＋
ａ_１・ａ_３＋・・・＋ａ_(ｎ−１)・ａ_ｎ）

が成り立つことより、無限個の文字についても、

Ｔ_２＝ａ_１^２＋ａ_２^２＋ａ_３^２＋ａ_４^２＋・・・＋ａ_ｎ^２＋・・・
　
　　＝(ａ_１＋ａ_２＋ａ_３＋ａ_４＋・・・＋ａ_ｎ＋・・・）^２−２（ａ_１・ａ_２＋
ａ_１・ａ_３＋・・・＋ａ_(ｎ−１)・ａ_ｎ＋・・・）

が成り立つことをオイラーは知りました。 それは彼らしい鋭いパターン認識のセンスと、 有限な積にあてはまるものであれば無限の積に拡大してもいいという 信念とに助けられたのです。

このようにして、４乗の逆数の和に関する素敵な答えを発見したことになります。 ですからオイラーは新しいオモチャを見つけた子供ように嬉々として、 次々に求め、ついにはζ（２６）の値という驚異的なところまで 偶数の指数を試していったのです。
いうもでもなくここまでに至る数学の小道を探索してみた者は 歴史上一人もいませんでした。

ところで、一つ疑問がすぐに頭に浮かんできます。 奇数のベキ乗を持つ整数の逆数の和はどうでしょう？
たとえば、１＋１／８＋１／２７＋１／６４＋・・・ のような級数も同じように計算値が出せるでしょうか？
問題の和が任意の分数ｐ／ｑに対して（ｐ／ｑ）π^３ といった形になるのではないかと推測するのは簡単ですが、 今に至るまでこの推測が正しいかどうかは誰にも分かっていません。
いずれにしても、この素晴らしい和のすべてはその後、 今日のより高い理論的に厳密な証明によって確認されています。

ゼーター関数ζ（２）物語を投稿するようになって、 「数学の美しさ、不可思議さ、広大さ、自由さ、偉大な数学者の心の動き」 に触れることができ、理解できたという幸福感に慕っています。
この物語に答えを寄せてくださいました多くの読者のみなさんありがとうございます。

この物語のきっかけはやはり、次の問題です。
今度は「２つの自然数を任意にとるとき、 これらが互いに素である確率を求めよ」にチャレンジしていきます。 それでは、ゼーター関数ζ（２）物語第１2夜の終わりとします。

・ゼーター関数物語（４４） 月の光さんのもの Orz〜
図1参照。
一方は有理数、もう一方は無理数の無限積なのに 同じ値になるというのは面白いと思います。

わたしも互いに素な自然数になる確率なんて・・・？
って、解答を読んだ時に嵌まってしまったって感じですね！^^:v

ゼータ関数1^7

まだまだ続いてます・・・^^;

水の流れ 　　　 ゼーター関数物語（３７）
　　
ゼーター関数ζ（２）物語第１０夜の始まりです。
さて、昨夜次のような問題を出したところ、 「月の光」さんや「Junko」によって、 それぞれ、エレガントでかつユニークな解法で値を求められました。
図1参照。

皆さんも、これらの値を覚えておかれるといいでしょう。

レオンハルト・オイラーはこれでもう十分に満足してこの素晴らしい栄光の上に どっかりとあぐらをかいていませんでした。 価値あることなら何事も徹底的に掘り下げていくという才能が彼の数学の特徴です。 かの素晴らしい“和”の場合も、彼にしてみればまだ表面を引っ掻いただけに過ぎませんでした。 オイラーは自らがキ−となる式をもう一度思い出してください。
図2参照。

オイラーは偶然にも、イギリス人のジョン・ウｫリス（１６１６〜１７０３）に よって発見されたπの近似式と同じ結果を 彼独自のユニークな方法で得ています。

それでは、今夜の問題です。
ジョン・ウｫリスの公式をオイラー風に求めてください。
次の夜に、ζ（４）、ζ（６）、ζ（８）を求めますが、予習をお願いします。

一般に、対称式は基本対称式の整式として表されます。

問題

1. ｓ_１＝ａ＋ｂ，ｓ_２＝ａｂ　とおくとき、
ａ^２＋ｂ^２　をｓ_１，ｓ_２で表してください。
2. ｓ_１＝ａ＋ｂ＋ｃ，ｓ_２＝ａｂ＋ａｃ＋ｂｃ，ｓ_３＝ａｂｃ　とおくとき、
ａ^３＋ｂ^３＋ｃ^３　をｓ_１，ｓ_２，ｓ_３で表してください。　
3. ｓ_１＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ，ｓ_２＝ａｂ＋ａｃ＋ａｄ＋ｂｃ＋ｂｄ＋ｃｄ，
ｓ_３＝ａｂｃ＋ａｂｄ＋ａｃｄ＋ｂｃｄ，ｓ_４＝ａｂｃｄ　とおくとき、
ａ^４＋ｂ^４＋ｃ^４＋ｄ^４を ｓ_１，ｓ_２，ｓ_３，ｓ_４で表してください。

・ゼーター関数物語（３８）Junkoさんのもの Orz〜
　　
1. ａ^２＋ｂ^２＝(ａ＋ｂ)^２−２ａｂ＝ｓ_１^２−２ｓ_２

2. 展開公式
(ａ＋ｂ＋ｃ)^２＝ａ^２＋ｂ^２＋ｃ^２＋２ａｂ＋２ｂｃ＋２ｃａ

(ａ＋ｂ＋ｃ)(ａ^２＋ｂ^２＋ｃ^２−ａｂ−ｂｃ−ｃａ)＝ａ^３＋ｂ^３＋ｃ^３−３ａｂｃを使って、

ａ^３＋ｂ^３＋ｃ^３＝ｓ_１^３−３ｓ_１ｓ_２＋３ｓ^３

3. ａ^４＋ｂ^４＋ｃ^４＋ｄ^４＝ｓ_１^４−４ｓ_１^２ｓ_２＋２ｓ_２^２＋４ｓ_１ｓ_３−４ｓ_４

これは、「ｓ_１^４−(ａ^４＋ｂ^４＋ｃ^４＋ｄ^４)」 を展開し、残った項を見ながら見当をつけて探していきました。
実際の計算は「mathematica」に手伝ってもらいました。

・水の流れ 　　　 ゼーター関数物語（３９）
　　
ａ^４＋ｂ^４＋ｃ^４＋ｄ^４は ４次の同次式ですから、基本対称式の整式に表されることより、与式は次のようになります。
ｓ_１は１次式、ｓ_２は２次式、 ｓ_３は３次式、ｓ_４は４次式に注目していくと、
与式＝ｓ_１^４＋Ａｓ_１２ｓ_２＋Ｂｓ_２^２＋Ｃｓ_１ｓ_３＋Ｄｓ_４ と表されます。
ここで、両辺のａ，ｂ，ｃ，ｄに４組の意味のある数値を代入して、 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄの４元方程式を作って、解きます。
ちなみに、（ａ，ｂ，ｃ，ｄ）＝（１，１，０，０）、（１，１，１，０）、（１， １，１，１）、 （１，−１，１，−１）を代入して、
２＝１６＋４Ａ＋Ｂ
３＝８１＋２７Ａ＋９Ｂ＋３Ｃ
４＝２５６＋９６Ａ＋３６Ｂ＋１６Ｃ＋Ｄ
４＝４Ｂ＋Ｄ
これを解いて、正解に至ります。

・水の流れ 　　　 ゼーター関数物語（４０）

ゼーター関数ζ（２）物語第１１夜の始まり、始まり。
昨夜の予習問題は、次のように基本対称式で表されます。 (38,39)をご覧ください。

1. ａ^２＋ｂ^２＝(ａ＋ｂ)^２−２ａｂ＝ｓ_１２−２ｓ_２
2. ａ^３＋ｂ^３＋ｃ^３＝ｓ_１^３−３ｓ_１ｓ_２＋３ｓ^３
3. ａ^４＋ｂ^４＋ｃ^４＋ｄ^４＝ｓ_１^４−４ｓ_１２ｓ_２＋２ｓ_２^２＋４ｓ_１ｓ_３−４ｓ_４

そこで、オイラーの自らが発見したキ−となる式をもう一度思い出してください。
図3参照。

したがって、今夜の宿題です。
これを利用して、ζ（２）、ζ（４）、ζ（６）、ζ（８）まで、求めてください。
この続きは明日の夜お話しましょう。 オイラーはパソコンのない時代にζ（２６）までよく手ですごい計算をしたものだと驚きます。

・ゼーター関数物語（４１） Junkoさんのもの Orz〜

ただ１つ気になることがあります。 それは対称式を基本対称式で表す際の変数の個数です。 無限個に対してもそのままつかっていいものかどうか？

２次のものについて取りあえず帰納法で証明してみました。つまり、
ｓ(１，ｎ)＝ａ_１＋ａ_２＋ａ_３＋・・・＋ａ_ｎ
ｓ(２，ｎ)＝ａ_１・ａ_２＋ａ_１・ａ_３＋・・・＋ａ_(ｎ−１)・ａ_ｎ
Ｔ(２，ｎ)＝ａ_１^２＋ａ_２^２＋・・・＋ａ_ｎ^２としたとき、
Ｔ(２，ｎ)＝ｓ(１，ｎ)^２＋２ｓ(２，ｎ)を仮定し、
Ｔ(２，ｎ＋１)＝ｓ(１，ｎ＋１)^２＋２ｓ(２，ｎ＋１)を示すわけです。

実際の証明はここでは省略しますが、さほどむずかしくはないのでやってみてください。 同様に３次、４次・・・などでも証明できそうです。

しかしそれにしても有限での話です。 無限の場合も成り立ちそうだとは思うのですが・・・ 無条件に使っていいものかどうか、疑問です。

ゼ−タ−関数の値に限っていえば、上述の等式をすべて有限でかいておいて、 最後に極限をとればいいのかなと思います。

・ゼーター関数物語（４２） Junkoさんのもの Orz〜

真似して、５次の対称式に挑戦してみました。
ｓ_１＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＋ｅ
ｓ_２＝ａｂ＋ａｃ＋ａｄ＋ａｅ＋ｂｃ＋ｂｄ＋ｂｅ＋ｃｄ＋ｃｅ＋ｄｅ
ｓ_３＝ａｂｃ＋ａｂｄ＋ａｂｅ＋ａｃｄ＋ａｃｅ＋ａｄｅ＋ｂｃｄ＋ｂｃｅ＋ｂｄｅ＋ｃｄｅ
ｓ_４＝ａｂｃｄ＋ａｂｃｅ＋ａｂｄｅ＋ａｃｄｅ＋ｂｃｄｅ
ｓ_５＝ａｂｃｄｅとして、
Ｔ_５＝ａ^５＋ｂ^５＋ｃ^５＋ｄ^５＋ｅ^５を ｓ_１・・・ｓ_５で表します。
次数の関係から、
Ｔ_５＝ｓ_１^５＋Ａｓ_１・ｓ_２^２＋Ｂｓ_１^２・ｓ_３＋Ｃｓ_１・ｓ_４＋Ｄｓ_１^３・ｓ_２＋Ｅｓ_２・ｓ_３＋Ｆｓ_５とおきます。

(ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ)に適当な値を代入していきます。

* (１，１，０，０，０)を代入して、１５＋Ａ＋４Ｄ＝０
* (１，１，−１，０，０)を代入して、Ａ−Ｂ−Ｄ＋Ｅ＝０
* (１，１，１，０，０)を代入して、８０＋９Ａ＋３Ｂ＋２７Ｄ＋Ｅ＝０
* (２，−１，−１，０，０)を代入して、Ｅ＝−５
* (１，１，１，−１，０)を代入して、１５−４Ｂ−Ｃ＝０
* (１，１，１，−１，−１)を代入して、４Ａ−２Ｂ＋Ｃ−２Ｄ＋４Ｅ＋Ｆ＝０
以上を連立させて解きました。
Ａ＝５，Ｂ＝５，Ｃ＝−５，Ｄ＝−５，Ｅ＝−５，Ｆ＝５となるので、

Ｔ_５＝ｓ_１^５＋５ｓ_１・ｓ_２^２＋５ｓ_１^２・ｓ_３−５ｓ_１・ｓ_４−５ｓ_１^３・ｓ_２−５ｓ_２・ｓ_３＋５ｓ_５となります。

これをもとに、ζ(１０)の値を計算してみます。
図参照。

と結果をかいてしまえば簡単ですが、これを手計算するには気力と根気が必要でした。 しかも私は「mathematica」で結果を確認できますが、もちろんそんなものはない時代に ζ(２６)まで計算したオイラ−という人は、想像すらできません。

ほんまにオイラーって人は人間離れした頭脳の持ち主だったんですねえ、、、^^;

ゼータ関数1^6

続きます。。。^^v

http://www.junko-k.com/collo/collo46.htm#387 Orz〜

・ ゼーター関数物語（２９）水の流れさんのもの Orz〜
　　
ゼーター関数ζ（２）物語第９夜の始まり、始まり。
ゼーター関数ζ（２）物語第６夜の始まりに、こんなことをかきましたね。
図1参照。
の値を追い求めていたベルヌーイ兄弟にはその和の正確 な値を出すことはできませんでした。
ヤコブは”今もって私たちの必死の探求の目をかいくぐっている、 その答えを教えてくれる人があるならば、私たちは多いに感謝する・・・” と言い訳をしています。 ベルヌーイ兄弟は何もアイデアももっていませんでした。
ところが、『解決！フェルマーの最終定理＜現代数論の軌跡＞』 を読んでみると、１７２８年に ベルヌーイは、この和が８／５に近いと述べたり、 １７２９年にゴールドバッハはこの和が１．６４３７と １．６４５３の間にあることを言ったり、 オイラーは１７３１年に１．６４４９３４・・・であることをつきとめ、 結局、小数点以下２０位までの和を出してみて （コンピューターなどがなかった時代ですから、並々ならぬ計算作業です）、 それが、１．６４４９３４０６６８４８２２６４３６４７・・・という数値になっていきそうだと分かりました。
そして、オイラーは「私は何度試みても、それらの和に対する近似値しか得られませんでした・・ ・しかるの、まったく思いもかけず、 ζ（２）の優雅な公式を発見できました。 円周率πに関係しているのです」とその喜びを書いています。 （注：ここまで、『解決！フェルマーの最終定理＜現代数論の軌跡＞』を引用しました）
さて、ゼーター関数ζ（２）物語第８夜の下の問題を思い出してください。
『次の条件を満たすｎ次の多項式Ｐ（ｘ）を見つけなさい。
　Ｐ（０）＝１、Ｐ（ａ１）＝０，Ｐ（ａ２）＝０， Ｐ（ａ３）＝０，・・・，Ｐ（ａｎ）＝０』
この答えを「月の光」さんによって、解決しました。 「ゼータ関数27」を参照ください。

図2．

無限の積と無限の和が等しくなったのですからこれ以上はない意外な結果です。 オイラーのような洞察力を持った数学者にとって、 これはおおいに示唆に富むものでした。 もう、無限の積を展開して、ｘ２の係数を比べればよいのです。　

最後の結果は読者に任せるとして、

図3
の値こそ何十年もの間数学者たちの追求を逃れ続けた値です。
それをレオナルド・オイラーは独特な方法で ついにゼーターζ（２）の値を発見しました。
後に、ドイツの数学者リーマン（１８２６〜１８６６）によって、 次のように拡張されました。 皆さんは、リーマン積分等でご存じでしょう。
リーマン・ゼーター関数ζ（ｓ）とは
図4

さて、今夜の問題です。 皆さんもオイラーと同じようにこの驚くべき和ζ（２）を 求めてください。この後に、次の値も工夫して求めてください。

1. 偶数を平方した数の逆数の和

図5

2. 奇数を平方した数の逆数の和

図6

これで、今夜の物語は終わります。 まだ、まだ、続けていきます。 偉大な発見を追い求めて！・・・


・ゼーター関数物語（３０）月の光さんのもの Orz〜

・ゼーター関数物語（３１）月の光さんのもの Orz〜

・ゼーター関数物語（３２）月の光さんのもの Orz〜

・ゼーター関数物語（３３）月の光さんのもの Orz〜

・ゼーター関数物語（３４）Junkoさんのもの Orz〜
　　
(33) においては、 ０＜ｘ＜πにおける関数f(x)の回転体の表面積から導いています。
x=0,x=π,x軸,y=f(x)で囲まれた部分の面積からも導き出せます。

・ゼーター関数物語（３５）月の光さんのもの Orz〜
　　
(28)のゼーター関数物語第９夜の問題に対する答えです。
(33)の中で示したように、

図参照。

・ゼーター関数物語（３６）月の光さんのもの Orz〜


オイラーさんが最初にこの値を見つけた時は、めちゃ喜んだって話しですが、、、さもありなんくらいの素数の神秘さですよね。整数論の虜になるのも分かっていただけますでしょうか・・・？^^;
分からなくってもおもしろいって、、、それは不思議の世界のようなとこだから。。。^^v