アットランダム≒ブリコラージュ

オイラーの「無限解析入門」^9

ここから別な話題に入ってるようです。。。^^:v

水の流れさんのもの Orz〜
http://www.junko-k.com/collo/collo63.htm#542

「オイラーの「無限解析入門（１）」第９夜の始まり、始まり。
今夜は「数学の宇宙（現代数学者：中村由子訳）」を読んで、 多くの引用をさせてもらいながら、お話をします。
オイラーは１７４０年の秋に、フランスの数学者フィリップ・ノードから、 「自然数を異なる自然数の和として表わす方法がいくるあるか？」 という手紙を受け取りました。これが、オイラーの興味を引きました。 数日後、彼は「ここ数週間苦しめられた視力の低下のせいで返事の遅れた」 ことを詫びる手紙を添えて解答を送りました。
解答の紹介は後にしまして、少し説明します。

例えば、ｎ＝６のとき、異なる自然数の和として、次の４通りがあります。
６，５＋１、４＋２，３＋２＋１　です。
６を構成している数字は１回だけしか使えません。 だから、異なっている数字なら、数字はいくつ使ってもよいです。
ここで、ある自然数ｎを異なる自然数の和で表わす方法をＡ（ｎ）とします。
つまり、Ａ（６）＝４　です。
次に、６を構成している数字が奇数だけになっている方法を考えて見ます。
５＋１，３＋３，３＋１＋１＋１，１＋１＋１＋１＋１
の４通りです。奇数という制限はありますが、 同じ数字を繰り返して使ってもよいです。
ある自然数を奇数の和で表す方法をＢ（ｎ）とすれば、 Ｂ（６）＝４となります。

皆さん、Ａ（６）＝４　、Ｂ（６）＝４　が偶然に一致したかどうか、 これから、２，３調べてください。
これが今夜の宿題です。
ｎ＝７，８，・・・を調べてください。 」

・Junkoさんのもの Orz〜

「n=7のとき
異なる自然数による和は、７，６＋１，５＋２，４＋３，４＋２＋１の５通り。
Ａ(７)＝５
一方奇数による和は、７，５＋１＋１，３＋３＋１，３＋１＋１＋１＋１，１＋１＋１＋１＋１＋１＋１の５通り。
Ｂ(７)＝５
従って、Ａ(７)＝Ｂ(７)
* n=8のとき
異なる自然数による和は、８，７＋１，６＋２，５＋３，５＋２＋１，４＋３＋１の６通り。
Ａ(８)＝６
一方奇数による和は、７＋１，５＋３，５＋１＋１＋１，３＋３＋１＋１，
３＋１＋１＋１＋１＋１，１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１の６通り。
Ｂ(８)＝６
従って、Ａ(８)＝Ｂ(８)
* n=9のとき
異なる自然数による和は、９，８＋１，７＋２，６＋３，６＋２＋１，５＋４，
５＋３＋１，４＋３＋２の８通り。
Ａ(９)＝８
一方奇数による和は、９，７＋１＋１，５＋３＋１，５＋１＋１＋１＋１，３＋３＋３，
３＋３＋１＋１＋１，３＋１＋１＋１＋１＋１＋１，１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１＋１の８通り。
Ｂ(９)＝８
従って、Ａ(９)＝Ｂ(９)

どうやら、Ａ(ｎ)＝Ｂ(ｎ)は偶然ではなさそうですね。 」


To be continued...

オイラーの「無限解析入門」^8

続きです。。。^^v

水の流れさんのもの Orz〜
http://www.junko-k.com/collo/collo63.htm#540

「オイラーの「無限解析入門（１）」第８夜の始まり、始まり。
自然数全体の和はオイラーが１７４９年にゼーター関数を用いて、 奇妙な計算結果を導きました。
１＋２＋３＋４＋・・・＝−１／１２
そして、自然数の積はリーマンが１８５９年にゼーター関数を用いて、 次のような奇妙な計算結果を導きました。

画像：上

そこで、今夜の宿題です。
画像：中
を示してください。 」

何か不思議な世界ですね・・・^^;
To be continued...

オイラーの「無限解析入門」^7

続きです。。。^^v

水の流れさんのもの Orz〜
http://www.junko-k.com/collo/collo60.htm#506

「オイラーの「無限解析入門（１）」の第７夜の始まり、始まり。
前夜、ガンマ関数Γ（ｓ）の話をしましたね。 もう一度、書いておきます。

画像：上

を言います。

さて、いきなりですが、今夜の宿題です。
次の関数が、ゼーター関数ζ（ｓ）の積分における表現になっていること を示してください。

画像：中

皆さん、この積分をしてみてください。今夜は短いお話でした。 」

・月の光さんのもの Orz〜

画像：下

・水の流れさんのもの

「リ−マンのゼ−タ関数は、積分によっても次のように表現できます。

画像：最下

「素数の不思議：好田順治著（現代数学社）」に載っていましたので、紹介します。」



To be continued...

オイラーの「無限解析入門」^6

続きです。。。^^v

水の流れさんのもの Orz〜
http://www.junko-k.com/collo/collo57.htm#489

「オイラーの「無限解析入門（１）」の第6夜の始まり、始まり。
Junkoさんが見事にBernoulli数がTaylor展開によって、求められました。
数式ソフト「Mathematica」と共にJunkoさんの能力も素晴らしい。
解析概論を読んでいたら、Bernoulli数を別の角度から、 求めてありましたので、紹介します。
−２π＜ｘ＜２π　において、

画像：上

この２式を掛けると、明らかに右辺は１になります。
そして、当然　Ｂ０＝１　であり、ｘｎの係数は　０　です。
これを左辺で見ますと、

画像：中

両辺に（ｎ＋１）！　を掛けて　、２項係数で表すと
(ｎ＋１)Ｃ１Ｂ_ｎ＋ (ｎ＋１)Ｃ２Ｂ_(ｎ−１)＋ (ｎ＋１)Ｃ３Ｂ_(ｎ−２)＋ ・・・
＋( ｎ＋１)ＣｎＢ_１＋( ｎ＋１)Ｃ(ｎ＋１)Ｂ_０＝０
これは　ｎ＋１　のところを　ｎ　で書き直し、さらに組合せの性質もつかって、
ｎＣ(ｎ−１)Ｂ_(ｎ−１)＋ ｎＣ(ｎ−２)Ｂ_(ｎ−２)＋ ・・・＋ ｎＣ２Ｂ_２＋ ｎＣ１Ｂ_１＋ ｎＣ０Ｂ_０＝０
これは（Ｂ＋１)^ｎ−Ｂ^ｎ＝０　と書けば分かり易いです。
ただし、展開後の　Ｂ　の指数を下の添え字にしてください。
ここで、ｎ＝２　を代入して　２Ｂ_１＋１＝０　　　　∴Ｂ_１＝−１／２
ｎ＝３　を代入して　　３Ｂ_２＋３Ｂ_１＋１＝０　　　　　　　　∴Ｂ_２＝１／６
ｎ＝４　を代入して　４Ｂ_３＋６Ｂ_２＋４Ｂ_１＋１＝０　　　　∴Ｂ_３＝０
ｎ＝５　を代入して　５Ｂ_４＋１０Ｂ_３＋１０Ｂ_２＋５Ｂ_１＋１＝０　∴Ｂ_４＝−１／３０
後は、読者に任せます。分かったことは

画像：下

（Ｂ_１以外の奇数番号のＢ_ｎは０になっています）　

ここで、ゼーターの値 ζ（０）＝−１／２，ζ（−１）＝−１／１２，ζ（−２）＝０， ζ（−３）＝１／１２０，・・・を比較してください。　すると、

画像：最下

と簡単に書けることをオイラーは１７４９年に発見しました。
さて、ζ（２），ζ（３），ζ（４），・・・とＢ_２、Ｂ_３，Ｂ_４， ・・・の関係については、オイラーは すでに１７３５年に見つけていました。

ここの関係を発見するにはガンマ関数Γ（ｓ）の登場になります。

画像：最下^2

と書きます。

ここで、やっと、今夜の宿題です。
このガンマ関数Γ（ｓ）の下記の性質を示してください。
（１）　Γ（ｓ＋１）＝ｓΓ（ｓ）　　、Γ（１）＝１
（２）　Γ（ｓ＋１）＝ｓ！　

この先の展開に不安を持ちつつ、第６夜はゆっくりねましょう 」

・Junkoさんのもの Orz〜

画像参照


To be continued...

オイラーの「無限解析入門」^5

続きです。。。^^v

水の流れさんのもの Orz〜

「オイラーの「無限解析入門（１）」の第５夜の始まり、始まり。
次の等式が基本でしたね。

画像：上

これらの値はゼーターの特殊値としての解釈ができますし、 自然界にも普通に表れているかもしれません。
たとえば、ラモローさんは１９９７年に、量子力学において５０年間 念願とされてきたカシミール効果をアメリカのシアトルにおける実験で 確認したときの理論値は実質的に
１＋８＋２７＋６４＋・・・＝１／１２０　　でした。
無限大になるところをうまく引き去って（繰り込んで） 意味のある有限値を出すことを物理学での言葉で「繰り込み」と言いますが、 上記の値がその一例と考えられます。
オイラーの奇妙な計算が出たついでに、オイラーの最も激しい計算 （発散がゼーターの場合より激しい！）を紹介します。
１！−２！＋３！−４！＋５！−６！＋７！−・・・＝０．４０３６５２６・・・
＜今までのオイラーの「無限解析入門（１）」の原稿は、 「数学の夢　素数からのひろがり　」黒川信重：岩波書店　を参考にして、 多くの引用しています。＞

第２夜のときに、以下のことを書きましたね。
ゼーター関数ζ（ｓ）の素晴らしいのはｓにどんな複素数を代入しても、 意味を持つという点です。＜数学的には「解析接続可能」と言います＞ オイラーの見つけた形（１７４９年）で言いますと、
ｓ≦０のとき、月夜の世界
０≦ｓ≦１のとき、たそがれとき＜夕焼け・朝焼け＞
１≦ｓのとき、昼間太陽の世界
とユニークな月のマークと太陽のマークを書いています。
月夜の世界での不思議な計算はここで、終わりにしまして、 昼間の計算に移ります。 オイラーは１７３５年に、順次ζ（２ｍ）（ｍ＝１，２，・・・１３）を計算しました。 ζ（２６）が最後でした。ちなみに、
ζ（２６）＝１３１５８６２／１１０９４４８１９７６０３０５７８１２５・π２６です。
実に驚異的な計算能力です。驚嘆するばかりです。

ここで私ことですが、３月，数式処理「Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ」の講習会 を受講してきました。 昼休みにこっそりソフトをお借りしまして、 我のオイラーに近づこうと思いまして、ゼーターζ（ｓ）の値に挑戦しました。

画像：中

Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａは偉大なソフトです。瞬時に計算してくれます。
私の手元に、ζ（２ｍ）（ｍ＝１，２，・・・２２）　の値があります。
ζ（３）の値は出ませんでしたが、オイラーに少しでも近づけたような感動が湧いて来ました。
話を本題に戻ります。 あのベルヌイが研究したベルヌイ数に挑戦していきます。

さて、問題です。

画像：下

このＢｎの値をＢ０からＢ８まで、求めてください。 これで、第５夜を閉じます。お休みなさい。 」


・Junkoさんのもの Orz〜

画像：最下


To be continued...