アットランダム≒ブリコラージュ

「転ぶな、風邪ひくな、義理を欠け」(長寿の心得...岸信介) /「食う、寝る、出す、風呂」(在宅生活4つの柱)

過去の投稿日別表示

[ リスト | 詳細 ]

全4ページ

[1] [2] [3] [4]

[ 次のページ ]

イメージ 1

ここから別な話題に入ってるようです。。。^^:v

水の流れさんのもの Orz〜
http://www.junko-k.com/collo/collo63.htm#542

「オイラーの「無限解析入門(1)」第9夜の始まり、始まり。
今夜は「数学の宇宙(現代数学者:中村由子訳)」を読んで、 多くの引用をさせてもらいながら、お話をします。
オイラーは1740年の秋に、フランスの数学者フィリップ・ノードから、 「自然数を異なる自然数の和として表わす方法がいくるあるか?」 という手紙を受け取りました。これが、オイラーの興味を引きました。 数日後、彼は「ここ数週間苦しめられた視力の低下のせいで返事の遅れた」 ことを詫びる手紙を添えて解答を送りました。
解答の紹介は後にしまして、少し説明します。

例えば、n=6のとき、異なる自然数の和として、次の4通りがあります。
6,5+1、4+2,3+2+1 です。
6を構成している数字は1回だけしか使えません。 だから、異なっている数字なら、数字はいくつ使ってもよいです。
ここで、ある自然数nを異なる自然数の和で表わす方法をA(n)とします。
つまり、A(6)=4 です。
次に、6を構成している数字が奇数だけになっている方法を考えて見ます。
5+1,3+3,3+1+1+1,1+1+1+1+1
の4通りです。奇数という制限はありますが、 同じ数字を繰り返して使ってもよいです。
ある自然数を奇数の和で表す方法をB(n)とすれば、 B(6)=4となります。

皆さん、A(6)=4 、B(6)=4 が偶然に一致したかどうか、 これから、2,3調べてください。
これが今夜の宿題です。
n=7,8,・・・を調べてください。 」

・Junkoさんのもの Orz〜

「n=7のとき
異なる自然数による和は、7,6+1,5+2,4+3,4+2+1の5通り。
A(7)=5
一方奇数による和は、7,5+1+1,3+3+1,3+1+1+1+1,1+1+1+1+1+1+1の5通り。
B(7)=5
従って、A(7)=B(7)
* n=8のとき
異なる自然数による和は、8,7+1,6+2,5+3,5+2+1,4+3+1の6通り。
A(8)=6
一方奇数による和は、7+1,5+3,5+1+1+1,3+3+1+1,
3+1+1+1+1+1,1+1+1+1+1+1+1+1の6通り。
B(8)=6
従って、A(8)=B(8)
* n=9のとき
異なる自然数による和は、9,8+1,7+2,6+3,6+2+1,5+4,
5+3+1,4+3+2の8通り。
A(9)=8
一方奇数による和は、9,7+1+1,5+3+1,5+1+1+1+1,3+3+3,
3+3+1+1+1,3+1+1+1+1+1+1,1+1+1+1+1+1+1+1+1の8通り。
B(9)=8
従って、A(9)=B(9)

どうやら、A(n)=B(n)は偶然ではなさそうですね。 」


To be continued...

イメージ 1

イメージ 2

続きです。。。^^v

水の流れさんのもの Orz〜
http://www.junko-k.com/collo/collo63.htm#540

「オイラーの「無限解析入門(1)」第8夜の始まり、始まり。
自然数全体の和はオイラーが1749年にゼーター関数を用いて、 奇妙な計算結果を導きました。
1+2+3+4+・・・=−1/12
そして、自然数の積はリーマンが1859年にゼーター関数を用いて、 次のような奇妙な計算結果を導きました。

画像:上

そこで、今夜の宿題です。
画像:中
を示してください。 」

何か不思議な世界ですね・・・^^;
To be continued...

イメージ 1

イメージ 2

イメージ 3

イメージ 4

続きです。。。^^v

水の流れさんのもの Orz〜
http://www.junko-k.com/collo/collo60.htm#506

「オイラーの「無限解析入門(1)」の第7夜の始まり、始まり。
前夜、ガンマ関数Γ(s)の話をしましたね。 もう一度、書いておきます。

画像:上

を言います。

さて、いきなりですが、今夜の宿題です。
次の関数が、ゼーター関数ζ(s)の積分における表現になっていること を示してください。

画像:中

皆さん、この積分をしてみてください。今夜は短いお話でした。 」

・月の光さんのもの Orz〜

画像:下

・水の流れさんのもの

「リ−マンのゼ−タ関数は、積分によっても次のように表現できます。

画像:最下

「素数の不思議:好田順治著(現代数学社)」に載っていましたので、紹介します。」



To be continued...

イメージ 1

イメージ 2

イメージ 3

イメージ 4

イメージ 5

イメージ 6

続きです。。。^^v

水の流れさんのもの Orz〜
http://www.junko-k.com/collo/collo57.htm#489

「オイラーの「無限解析入門(1)」の第6夜の始まり、始まり。
Junkoさんが見事にBernoulli数がTaylor展開によって、求められました。
数式ソフト「Mathematica」と共にJunkoさんの能力も素晴らしい。
解析概論を読んでいたら、Bernoulli数を別の角度から、 求めてありましたので、紹介します。
−2π<x<2π において、

画像:上

この2式を掛けると、明らかに右辺は1になります。
そして、当然 B0=1 であり、xnの係数は 0 です。
これを左辺で見ますと、

画像:中

両辺に(n+1)! を掛けて 、2項係数で表すと
(n+1)C1B_n+ (n+1)C2B_(n−1)+ (n+1)C3B_(n−2)+ ・・・
+( n+1)CnB_1+( n+1)C(n+1)B_0=0
これは n+1 のところを n で書き直し、さらに組合せの性質もつかって、
nC(n−1)B_(n−1)+ nC(n−2)B_(n−2)+ ・・・+ nC2B_2+ nC1B_1+ nC0B_0=0
これは(B+1)^n−B^n=0 と書けば分かり易いです。
ただし、展開後の B の指数を下の添え字にしてください。
ここで、n=2 を代入して 2B_1+1=0    ∴B_1=−1/2
n=3 を代入して  3B_2+3B_1+1=0        ∴B_2=1/6
n=4 を代入して 4B_3+6B_2+4B_1+1=0    ∴B_3=0
n=5 を代入して 5B_4+10B_3+10B_2+5B_1+1=0 ∴B_4=−1/30
後は、読者に任せます。分かったことは

画像:下

(B_1以外の奇数番号のB_nは0になっています) 

ここで、ゼーターの値 ζ(0)=−1/2,ζ(−1)=−1/12,ζ(−2)=0, ζ(−3)=1/120,・・・を比較してください。 すると、

画像:最下

と簡単に書けることをオイラーは1749年に発見しました。
さて、ζ(2),ζ(3),ζ(4),・・・とB_2、B_3,B_4, ・・・の関係については、オイラーは すでに1735年に見つけていました。

ここの関係を発見するにはガンマ関数Γ(s)の登場になります。

画像:最下^2

と書きます。

ここで、やっと、今夜の宿題です。
このガンマ関数Γ(s)の下記の性質を示してください。
(1) Γ(s+1)=sΓ(s)  、Γ(1)=1
(2) Γ(s+1)=s! 

この先の展開に不安を持ちつつ、第6夜はゆっくりねましょう 」

・Junkoさんのもの Orz〜

画像参照


To be continued...

イメージ 1

イメージ 2

イメージ 3

イメージ 4

続きです。。。^^v

水の流れさんのもの Orz〜

「オイラーの「無限解析入門(1)」の第5夜の始まり、始まり。
次の等式が基本でしたね。

画像:上

これらの値はゼーターの特殊値としての解釈ができますし、 自然界にも普通に表れているかもしれません。
たとえば、ラモローさんは1997年に、量子力学において50年間 念願とされてきたカシミール効果をアメリカのシアトルにおける実験で 確認したときの理論値は実質的に
1+8+27+64+・・・=1/120  でした。
無限大になるところをうまく引き去って(繰り込んで) 意味のある有限値を出すことを物理学での言葉で「繰り込み」と言いますが、 上記の値がその一例と考えられます。
オイラーの奇妙な計算が出たついでに、オイラーの最も激しい計算 (発散がゼーターの場合より激しい!)を紹介します。
1!−2!+3!−4!+5!−6!+7!−・・・=0.4036526・・・
<今までのオイラーの「無限解析入門(1)」の原稿は、 「数学の夢 素数からのひろがり 」黒川信重:岩波書店 を参考にして、 多くの引用しています。>

第2夜のときに、以下のことを書きましたね。
ゼーター関数ζ(s)の素晴らしいのはsにどんな複素数を代入しても、 意味を持つという点です。<数学的には「解析接続可能」と言います> オイラーの見つけた形(1749年)で言いますと、
s≦0のとき、月夜の世界
0≦s≦1のとき、たそがれとき<夕焼け・朝焼け>
1≦sのとき、昼間太陽の世界
とユニークな月のマークと太陽のマークを書いています。
月夜の世界での不思議な計算はここで、終わりにしまして、 昼間の計算に移ります。 オイラーは1735年に、順次ζ(2m)(m=1,2,・・・13)を計算しました。 ζ(26)が最後でした。ちなみに、
ζ(26)=1315862/11094481976030578125・π26です。
実に驚異的な計算能力です。驚嘆するばかりです。

ここで私ことですが、3月,数式処理「Mathematica」の講習会 を受講してきました。 昼休みにこっそりソフトをお借りしまして、 我のオイラーに近づこうと思いまして、ゼーターζ(s)の値に挑戦しました。

画像:中

Mathematicaは偉大なソフトです。瞬時に計算してくれます。
私の手元に、ζ(2m)(m=1,2,・・・22) の値があります。
ζ(3)の値は出ませんでしたが、オイラーに少しでも近づけたような感動が湧いて来ました。
話を本題に戻ります。 あのベルヌイが研究したベルヌイ数に挑戦していきます。

さて、問題です。

画像:下

このBnの値をB0からB8まで、求めてください。 これで、第5夜を閉じます。お休みなさい。 」


・Junkoさんのもの Orz〜

画像:最下


To be continued...

全4ページ

[1] [2] [3] [4]

[ 次のページ ]


.
スモークマン
スモークマン
男性 / A型
人気度
Yahoo!ブログヘルプ - ブログ人気度について
友だち(1)
  • ヤドカリ
友だち一覧
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18 19
20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31

過去の記事一覧

検索 検索

Yahoo!からのお知らせ

よしもとブログランキング

もっと見る

[PR]お得情報

ふるさと納税サイト≪さとふる≫
実質2000円で好きなお礼品を選べる
毎日人気ランキング更新中!

その他のキャンペーン


プライバシー -  利用規約 -  メディアステートメント -  ガイドライン -  順守事項 -  ご意見・ご要望 -  ヘルプ・お問い合わせ

Copyright (C) 2019 Yahoo Japan Corporation. All Rights Reserved.

みんなの更新記事