アットランダム≒ブリコラージュ

695

問題695

半円と四分円を組み合わせて、図のような図形を作りました。
「ア」の部分の面積が36cm2のとき、「イ」の部分の面積は何cm2ですか？





































解答

・長野光春さんのもの Orz〜

半円２つと、４分円１つの面積が等しいので、
半円が、重なった分(ア)だけ、すき間（イ）が出来ます。
つまり（ア）＝（イ）＝36 cm^2

なるほどね♪

694

問題694・・・有名な問題だそうですね ^^

次のような性質を持った３つの整数ア、イ、ウがあります。（ア、イ、ウすべて０より大きい整数です）

性質）アの逆数、イの逆数、ウの逆数の合計は、１よりも小さい。（※）
このとき、「アの逆数＋イの逆数＋ウの逆数」として考えられる数のうち、最も大きいものを求めてください。

※・・・例えば、５の逆数は「５分の１」です。




































解答

・わたしの

1を1/m の和で一番近く表すことを考える。
1個のときは、k 個に分割したうち、k-1/k=1/m となる最小のmを求めればよい。
k-1 と k は互いに素なので、k-1=1、k=2
2個のときは、残りの1/2 をk 等分して、そのk-1個分が、1/m になる最小のmを求めればよい。
つまり、(k-1)/2k=1/m なので、同様に、k-1=2 となり、このとき、m=k=2+1=3
つぎに、1/2*3 を k 等分して、その k-1 個が、1/m になる最小の k を求めればよい。
つまり、(k-1)/2*3*k=1/m だが、同様に、k-1=2*3、m=k=2*3+1=7
結局、1/2+1/3+1/7=41/42

つぎは、m=2*3*7+1=43
以下同様に、2*3*7*43+1、、、、と考えればいいのかな？

・ayakaさんのもの Orz〜

合計で1になる組み合わせを考えればいいのです。
その場合は(ア,イ,ウ)=(2,3,6)、(2,4,4)、(3,3,3)ですね。
その組み合わせのうちで一番大きな数に1加えれば、確実に逆数の和は1より小さくなりますね。
これで考えていくと、
(1/3)-(1/4)=1/12、(1/4)-(1/5)=1/20、(1/6)-(1/7)=1/42
で最後の組み合わせが最も減少幅が小さい、ということは一番大きくなる
∴組み合わせは(2，3，7)で逆数の和は41/42

わたしはこれでいいと思ってましたが、、、厳密には、不十分なんだって。。。^^;

で、上のようなことを考えてみたわけです。。。^^v

・dobaさんのもの Orz〜
今回の答え、及び、Ｎ＝４の場合の答えは、まとめると次のような系列となります。
Ｎ＝１：　1/2（＝1 - 1/2）
Ｎ＝２：　1/2 + 1/3（＝1 - 1/6）
Ｎ＝３：　1/2 + 1/3 + 1/7（＝1 - 1/42）
Ｎ＝４：　1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43（＝1 - 1/1806）
この続きを考えると、次のような予想が立ちます。
「数列{a(n)},{b(n)}が次のような漸化式を満たすとする。
a(1)＝2
a(n+1)＝a(n)^2-a(n)+1
b(1)＝2
b(n+1)＝b(n)^2+b(n)
自然数Ｎについて、
x(1)≦x(2)≦…≦x(N)であり、
p=1/x(1) + 1/x(2) + … + 1/x(N)
がp＜1を満たすようなＮ個の自然数の組x(1)…x(N)を考えると、
その中でpが最大になるのは、
x(k)=a(k)（k=1,…,N）の場合で、
そのときp=1-1/b(N)となる。」
以下、あくまでも予想ですが、
このケースが他の場合と比べて特に言えることをさらにいくつか追加した上で、
全部ひっくるめてNに関する数学的帰納法で証明できそうな気はします。
が、数論的な、結構やっかいな議論になりそうです。
追加する命題として、これが言えればいいなと思っているのは、
次のようなものです。
「自然数の組x(1)…x(N)が、x(1)≦x(2)≦…≦x(N)であり、
1/x(1) + 1/x(2) + … + 1/x(N) ＜１
1/x(1) + 1/x(2) + … + 1/(x(N)-1) ≧１
を満たすとき、
1/x(1) + 1/x(2) + … + 1/x(N)＝1-m/n（ただし、m/nは既約分数）
とおくと、n≦b(N)」
今回は、ちょっとこれ以上検討する根性はありません(^^;
ただ、直感的に、b(N)が、すごい勢いで大きくなるので、
反例が見つかるとはなかなか思えません。


わたしには今一ピンと来てません。。。^^;

・uchinyanさんのもの Orz〜

すごく粗いアイディアですが．．．
p(n) = 1/a(1) + 1/a(2) + ... + 1/a(n)
として，p(n) = k/(k+1) と書けるならば，p(n) + 1/(k+1) = 1 なので，
1 より小の最大には，a(n+1) = k+2 とおくことになり，
p(n+1) = p(n) + 1/a(n+1) = k/(k+1) + 1/(k+2) = (k^2 + 3k + 1)/(k+1)(k+2) = {(k+1)(k+2) - 1}/(k+1)(k+2) = 1 - 1/(k+1)(k+2)
となるので，
p(1) = 1 - 1/2 = 1/2, p(2) = 1 - 1/6 = 5/6, p(3) = 1 - 1/42 = 41/42, p(4) = 1 - 1/(42*43) = 1 - 1/1806 = 1805/1806
と合わせて，この系列に入る候補は，皆さんの予想に合致すると思われます。
しかしもちろん，dobaさんのご指摘のように，この系列から外れるものがあるので話はそう簡単にはいきません。 ただ，実際に場合分けを行った経験からすると， こうした理想的でない候補は分母が予想の値より小さい k/(k+1) 又はそれを含むある種の形式，になりそうで， そうならば，予想の値より小さくなることが示せそうです。 しかし，最後の部分は不明な部分も多く，予想外の形式での出現の可能性も否定できず，証明は闇の中，という感じです．．．

・それを受けたわたしのコメント、、、

uchinyanさんの、、、
>p(n) = 1/a(1) + 1/a(2) + ... + 1/a(n)
として，p(n) = k/(k+1) と書けるならば，p(n) + 1/(k+1) = 1 なので，
1 より小の最大には，a(n+1) = k+2 とおくことになり，
p(n+1) = p(n) + 1/a(n+1) = k/(k+1) + 1/(k+2) = (k^2 + 3k + 1)/(k+1)(k+2) = {(k+1)(k+2) - 1}/(k+1)(k+2)

から、
つまり、p(n)=(k-1)/k と表せ、a(n+1)=k+1 とすると、
p(n+1)=(k(k+1)-1)/k(k+1)
なので、
k=a(1)*a(2)*・・・*a(n)　とすれば、
a(n+1)=a(1)*a(2)*・・・*a(n)+1　となり、
a(n)=a(1)*a(2)*・・・*a(n-1)+1 だから、
a(n+1)-1=(a(n)-1)*a(n) から、
a(n+1)=a(n)^2-a(n)+1
と、、、
シルベスター数列の一般式 （bananyanさんご教示 Orz〜）
a(n+1) = a(n)^2 - a(n) + 1, with a(0) = 2
ってのが求まりますけどね。。。^^;

・難波さんのもの Orz〜

明らかに数学ですが
a<=b<=c　として一般性を失わない。
条件より
1/a＋1/b＋1/c＜1…(＃)
a,b,cを(＃)を満たす数で1/a＋1/b＋1/c　が最大のものとする。
このとき、1/c＜1/(c−1)　であるがa,b,cの条件から
1/a＋1/b＋1/(c−1)>=1…(＄)
(もし、1/a＋1/b＋1/(c−1)<1 であれば
1/a＋1/b＋1/c＜1/a＋1/b＋1/(c−1)＜1　となり　1/a＋1/b＋1/c　の最大性に矛盾)
(＄)より
1/a＋1/a＋1/(a−1)>=1/a＋1/b＋1/(c−1)>=1
すなわち
1/a＋1/a＋1/(a−1)>=1
これはaの２次不等式である。これを解くと、aは整数よりa＝1,2,3
1)a＝1のとき
　明らかに不適
2)a＝2のとき
　(＄)より　1/2＋1/b＋1/(c−1)>=1　
すなわち　1/b＋1/(c−1)>=1/2…(％)
以下、同様に(％)より　1/b＋1/(b−1)>=1/2
これを解き、bの候補を絞り(＃)と(％)からcを求める。
すると(a,b,c)＝(2,3,7),(2,4,5),(3,3,4)が求まる。
それぞれの逆数の和は　41/42, 19/20, 11/12　
それぞれを1から引くと 1/42, 1/20, 1/12　となりこの数が一番小さくなる41/42　が求める数である。


わたしにはこれが一番真当な解法に思えました ^^v

・追記

n個の自然数の逆数の和の最大値は、あるkが存在し、 (k-1)/k で表されるときが最大で、
そのk こそが、k=a(1)*a(2)*・・・*a(n)　を考えれば成立してると思ってたんですが、、、
その k よりも大きな k' で (k'-1)/k' って存在がないとどうして言えるのかってことは言えないんですよね。。。^^;

・25 no 12 さんから Orz〜

最大値がuchinyanさん始めみなさん（私も）の予想通りなら、n個の自然数の組み合わせは、2, 3, 7, 43, 1807, ...のただ１通りになることは簡単に証明できます。
最大値の予想が正しければ、
「(n+1)個の自然数(a(1), a(2), ..., a(n+1))の逆数の和が最大となるとき、(a(1), a(2), ..., a(n))の逆数の和はn個の自然数の逆数の和の最大値である」が成立します。
このとき、(n+1)個目の自然数は一意的に決まるので、数学的帰納法から、1通りに決まることがいえます。


だって。。。逆バージョンならいえるのか、、、^^;

・25 no 12 さんから Orz〜

一般のnへの拡張、「n個の自然数の逆数の和が1未満で最大となるのは、n個の数がシルベスター数列（2, 3, 7, 43, 1809, ...）となるときである」ですが、どうやら証明されているようです。

Googleで"Sylvester's sequence"で検索するとWikipediaなどいろいろヒットしますが、
"The sum of the first k terms of the infinite series provides the closest possible underestimate of 1 by any k-term Egyptian fraction."
（ここでいう"the infinite seriese"がシルベスター数列の逆数（の和）を指しています）
とあります。何人かの数学者が証明しているようで、Referencesもついています。
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0502/0502247v1.pdf
ただし、さらに別の定理（Muirheadの定理だそうです；私はそんなの知りません）を利用した証明です。 （他にも文献はありましたが、残念ながら読めませんでした）

レクイエム（安倍首相辞任）

昼のニュース見て驚きましたね。。。安倍首相の辞任報道。え〜って思いましたね。なぜにこんな急に、、、？会見をライブで見れなかったけど、、、その心中を察するに、臨界点を迎えたんでしょうか。。。昨日の会見のニュースを拝見した感じでは、すでに決心されてたように表情は穏やかに見えましたね。。。すでに心は決まってたんでしょうかねえ。。。死者にむち打つことはしたくないもので。。。^^; でも、いま、なぜ？ってすんなり来ない気持はぬぐえないですね。。。今までも集中砲火を浴びておられたはずだのに、、、耐えに耐えてた陣地、橋頭堡が脆くも崩壊したんですよ。国民も与党も野党も、、、ぽっかり心が空白、真空になった感じがしてますよね？国民の生活が混乱しないようにしてもらいたいですが、、、これで、総理大臣がいなくってもたいしたことが起こらなけりゃ、、、逆に首相の座、役割なんてたいしたことないってことも言えるわけですが、、、^^;　そうでないというなら、、、あらゆる方策が手詰まりになったから、万策尽きたからって、、、あとは野となれ山となれって、ドロップアウトしちゃうのは無責任と謗られても仕方ないはずですよね。それでもなお、辞任の挙に出たのは、、、心理的、精神的、肉体的に極限状態だったんだろうって想像するわけですが。。。
彼が、国民に言えば言うほど、世界に向かって責任を果たす約束をしたこととの溝がますます深まって行き、彼にもやっと明確にその暗さと深さが見えてきたんでしょうかねえ。遅きに失したとはいえ、そこまで暗愚じゃなかったんだね。彼のブレーンはそれでも、タイミングってものを諭すべきだったと思いますけどね。彼が一人で決めちゃったのかも知れないけど、、、そうだとしたら、彼は、相談する相手もなく、孤独な宰相だったんだ。自分は裸の王様だったって気づいたとき、その愕然さはいかばかりだったんだろう。。。
わたしも含め砲弾を浴びせてた勢力も、刀は抜いたものの、すでに相手は死に体だったって、、、半ば茫然自失、肩透かしを食らったって感じでしょうかね、、、何か申し訳無かった気持ちになってますよ。無能な人をその椅子に居座らせ続けちゃだめですよ。担いだ方々もみな同罪だという気持ちで喪に服してもらいたいですね。今日は余り多くを語りたくないな。。。
ごゆっくりお休み下さい。お疲れさまでした。

画像：記者会見する安倍首相＝１２日午後２時、首相官邸で
asahi.com　より Orz〜
「首相会見・質疑応答全文　「私がいることでマイナスに」　2007年09月12日19時28分

１２日午後、首相官邸で行われた安倍首相の辞任記者会見での発言、質疑応答は以下の通り（首相の発言はほぼ語った通りに再現。記者の質問は趣旨を要約）。
　　　　◇
本日、総理の職を辞するべきと決意をいたしました。７月２９日に参議院の選挙の結果が出たわけですが、大変、厳しい結果でした。ですが、この改革を止めてはいけない、また、戦後レジームの脱却、その方向性を変えてはいけないという決意で続投をしたわけでございます。今日まで全力で取り組んできたところであります。
テロとの戦い、国際社会から期待されている活動を中断することがあってはならない。なんとしても継続していかなければならないと話しました。これは主張する外交の中核であります。この政策は、なんとしてもやり遂げていく責任が私にはある。この思いの中で、中断しないために全力を尽くしていく、職を賭していく、とお話をしました。職に決してしがみつくものでもないと、申し上げたわけであります。
あらゆる努力をしなければならない。環境作りにおいても努力をしなくてはいけない。一身をなげうつ覚悟で、全力で努力すべきだと考えてまいりました。
本日、小沢党首に党首会談を申し入れ、率直な思いと考えを伝えようとしたが、残念ながら、党首会談については実質的に断られてしまったわけであります。小沢代表は、民意を受けていない、とこのような批判をしたわけでありますが、大変、残念でございました。
今後、このテロとの戦いを継続させるうえにおいて、私はどうすべきか。むしろ、これは局面を転換しなければならない。新たな総理のもとでテロとの戦いの継続をしていく。それを目指すべきではないか。来る国連総会にも新しい総理が行くことが、むしろ、局面を変えていくには良いのではないか。
また、改革を進めていく、その決意で続投し、内閣改造を行ったわけでございますが、今の状況で、なかなか国民の支持、信頼のうえにおいて力強く政策を前に進めていくのは困難な状況であると。ここは、自らがけじめをつけることで、局面を打開しなければいけない、と判断するにいたったわけでございます。
先ほど、党の５役に考え、決意をお伝えしました。政治の空白を生まないように、なるべく早く次の総裁を決めてもらいたいと、本日からその作業に入ってもらいたいと、指示しました。私の決断が先に延びることで、国会において混乱が大きくなると。その判断から、決断はなるべく早く行わなければならないと、そう判断しました。
　　　　◇
以下、質疑応答。・・・
http://www.asahi.com/politics/update/0912/TKY200709120196.html　参照願います。Orz 」