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算チャレ掲示板での25 no 12さんからの情報より。。。Orz〜(2007.09.18.)
「一般のnへの拡張、「n個の自然数の逆数の和が1未満で最大となるのは、n個の数がシルベスター数列（2, 3, 7, 43, 1807, ...）となるときである」ですが、どうやら証明されているようです。
( * Sylvester's sequence: a(n+1) = a(n)^2 - a(n) + 1, with a(0) = 2.
・・・ようは、、、1*2+1=3,1*2*3+1=7,1*2*3*7+1=43.1*2*3*7*43+1=1807,・・・)
Googleで"Sylvester's sequence"で検索するとWikipediaなどいろいろヒットしますが、
"The sum of the first k terms of the infinite series provides the closest possible underestimate of 1 by any k-term Egyptian fraction."
（ここでいう"the infinite seriese"がシルベスター数列の逆数（の和）を指しています）
とあります。何人かの数学者が証明しているようで、Referencesもついています。
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0502/0502247v1.pdf
ただし、さらに別の定理（Muirheadの定理だそうです；私はそんなの知りません）を利用した証明です。 」
を記念してアップしました。^^v
http://en.wikipedia.org/wiki/Sylvester's_sequence より Orz〜
Sylvester's sequence
From Wikipedia, the free encyclopedia
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In number theory, Sylvester's sequence is a sequence of integers in which each member of the sequence is the product of the previous members, plus one. The first few terms of the sequence are:
2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, 10650056950807, 113423713055421844361000443 (sequence A000058 in OEIS).
Sylvester's sequence is named after James Joseph Sylvester, who first investigated it in 1880. Its values grow doubly exponentially, and the sum of its reciprocals forms a series of unit fractions that converges to 1 more rapidly than any other series of unit fractions with the same sum. The recurrence by which it is defined allows the numbers in the sequence to be factored more easily than other numbers of the same magnitude, but, due to the rapid growth of the sequence, complete prime factorizations are known only for a few of its members. Values derived from this sequence have also been used to construct finite Egyptian fraction representations of 1, Sasakian Einstein manifolds, and hard instances for online algorithms.
画像：Graphical demonstration of the convergence of the sum 1/2 + 1/3 + 1/7 + 1/43 + ... to 1. Each row of k squares of side length 1/k has total area 1/k, and all the squares together exactly cover a larger square with area 1. Squares with side lengths 1/1807 or smaller are too small to see in the figure and are not shown.
奇麗ですね ♪
http://arxiv.org/PS_cache/math/pdf/0502/0502247v1.pdf
の証明は今のところ読んでもよく分からない。。。^^;
・25 no 12 さんから Orz〜(2007.9.19.)
引用したPDFの要点は、n個の自然数の積をkとして、kがシルベスター数列の積Kより小さいときは、n個の自然数の逆数の和s=m/k<(k-1)/k<(K-1)Kからsはシルベスター数列の逆数の和S=(K-1)/Kより小さく、kがKより大きいときはMuirhead's theoremを上手に用いる（対数を利用；すごく上手いと思いました）ことでs<=Sとなる（等号成立はn個の自然数がシルベスター数列と一致するとき）ことが数学的帰納法で言えるというものでした。
Muirhead's theorem (Muirhead's inequality)は下記の通り
Let s1 >= s2 >= ... >= sn >= 0, and
t1 >= t2 >= ... >= tn >= 0, and
Σsi = Σti (i=1〜n)
and for all k < n, Σsi >= Σti (i=1〜k)
Then for all nonnegative numbers x1, x2, ..., xn,
Σx1^sσ(1) x2^sσ(2) ... xn^sσ(n) >= Σx1^tσ(1) x2^tσ(2) ... xn^tσ(n)
where the sums run over all the permutations σ of {1, 2, 3, ..., n} ※
（※例えば、n=3なら、(σ(1),σ(2),σ(3))=(1,2,3）, (1,3,2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1,2), (3,2,1)、つまり並べ替えn!通りのすべてについてのΣ）
ちなみに、si=(1,0,...,0), ti=(1/n,1/n,...,1/n)とすると、相加平均>=相乗平均となり、「平均に関する様々な不等式の一般化」と解説されています。
証明は下記サイトにありました。
http://mcraeclan.com/MathHelp/BasicNumberIneqMuirheadsInequality.htm
n=2の場合は加重付き相加相乗平均（これも初見でしたが、微分を使って比較的簡単に証明できました）を利用して証明、nが3以上のときは、siとtiの中間的な数列を作って(n-1)項の比較でできるようにして数学的帰納法で証明するというもののようです（まだ骨格が（多分）分かっただけで、きっちりと検証はしていません）。
（Wikipediaにも解説（証明はなし）はあるのですが、sとtに関する不等式の向きが逆になっています）
その証明とやらを読んでみたいと思います。。。^^v
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