アットランダム≒ブリコラージュ

726

問題726

上の図１のような、５段の正六角柱型のジャングルジムがあります。
いま、１段目のＰ点から５段目のＱ点まで、ジャングルジムの柱を通って進むことにします。ただし、１段目〜４段目において、必ず右回りまたは左回りのいずれかで、別の柱に移動（※）するものとします。（１周以上はしません）また、下に降りることも出来ません。
このとき、ＰからＱに進む道順は全部で何通りあるでしょうか。ただし、図２のように、全て同じ頂点を通っていても各段での回り方（左周り／右回り）が異なれば、別々に数えるものとします。
※・・・５段目は移動しません。









































解答

・わたしの

pの上の場合の数、それ以外の場所の場合の数
0,2・・・1段目
2*5*(2),2*4*(2)・・・2段目
2*5*(2*4*(2)),2*(2*5*(2))+2*4*(2*4*(2))・・・3段目
2*5*(2*(2*5*(2))+2*4*(2*4*(2))),2*(2*5*(2*4*(2)))+2*4*(2*(2*5*(2))+2*4*(2*4*(2)))・・・4段目
Qの真下は、後者の数なので。。。
とにかくこれだけのことを地道に計算してただけなんですが、、、何度も間違えてたようです。。。

・水田ｘさんのもの Orz〜

この立体を上空からみたら六角形になる。階は違うが最終点Ｑとおんなじ位置をｑとする。そしてその点に止まったかとまっていないかを１，０でかんがえる。その場合以下の３とおりが考えられる。

０００１、　最後の４段目以外はｑでとまらない。
１００１、　１段目でｑで泊り最後にまたｑにくる。
０１０１　　同様なかんがえ

以下をたすと４＊４＊４＋１＊５＊４＋４＊１＊５＝１０４
右回り左回りをかんがえて２＊２＊２＊２＝１６倍すると１６６４


すぐピンと来なくって、、、

・小西さんからのもの Orz〜

水田さんと私と考え方が殆ど同じようなので
まず、Ｑ１をさけて４、２段目に上がっていて、次にＱ３をさけて４、次にＱ４をさけて４
４Ｘ４Ｘ４
最初にＱ１を選んで１、Ｑ２に上がってるので次にＱ３に行かず３段目は全部選んで５、
４段目はＱ４をさけて４
１Ｘ５Ｘ４
最初の場合のＱ３を通る場合
まず２段目へ上がるのに４通り４、Ｑ３を選んで１、次はＱ４へは行かない
ので４段目全部Ｏ．Ｋ．で５
４Ｘ１Ｘ５
４＊４＊４＋１＊５＊４＋４＊１＊５＝１０４
上では点だけで考えたので右回り左回りを考えて２ｘ２ｘ２倍
最後４段目Ｑ４へ移動するのに右回り左周りで各々２通り
あわせて
２Ｘ２Ｘ２Ｘ２＝１６倍して
１０４Ｘ１６＝１６６４

なるほど♪

・なかさんのもの Orz〜

n段目を回り終わったときに、Ｐの柱に至る場合の数をa(n)、
Ｐ以外のある柱に至る場合の数をb(n)、とすると、
a(n)+5*b(n)=10^n に注意して、

a(1)=0,b(1)=2
a(n+1)=10*b(n)
b(n+1)=(10^n-a(n+1))/5=10^n/5-2*b(n-1)

b(1)=2
b(2)=20-2*2=16
b(3)=200-2*16=168
b(4)=2000-2*168=1664

ちなみに一般項は、b(n)=(10^n-(-2)^n)/6
b(4)=(10^4-16)/6=1664
b(10)=(10^10-1024)/6=1666666496

・abcbaさんのもの Orz〜

n段目でP以外の点に到達する順路の組み合わせの総数b(n)は
正N角形の場合は
b(n) = ((2N-2)^n - (-2)^n)/N
　　 =2^n((N-1)^n-　(-1)^n)/N

みなさんすごいわ・・・^^;

・25 no 12さんのもの Orz〜

n段目でQの真下にいる場合も「Qにいる」と表現しています。
大筋は、3段目までの動き方全ての場合の数から、3段目の回転が終わった時点でQにいる場合の数を差し引いて、最後に4段目でQに向かって左右いずれかから回って上がり、という風に考えました。

1段目の回転：5本のどれかに向かう、右回りか左回りか⇒10通り
2段目の回転：5本のどれかに向かう、右回りか左回りか⇒10通り
3段目の回転：5本のどれかに向かう、右回りか左回りか⇒10通り※ただし、Qで終わる場合は除く
4段目の回転：Q以外からQに向かう、右回りか左回りか⇒2通り

3段目の回転でQで終わる場合を考える
2段目の回転はQ以外
1段目の回転はQの場合とQ以外の場合がある

1段目Q、2段目Q以外
1段目：Qに向かい、右回りか左回りか⇒2通り
2段目：QからQ以外に向かうので5本のどれか、右回りか左回りか⇒10通り

1段目Q以外、2段目Q以外
1段目：PからQ以外に向かう、右回りか左回りか⇒8通り
2段目：Q以外からQ以外に向かう、右回りか左回りか⇒8通り

上記二つ合わせると、2段目がQ以外⇒2*10+8*8=20+64=84通り
3段目の回転はQ以外からQへ向かうので、右回りか左回りか⇒2通り
したがって、1段目Pでスタートして、3段目回転終わった時点でQにいる場合⇒84*2=168通り

求める場合の数は、3段目でQ以外で終わって、4段目の回転でQに向かう場合なので、
(10*10*10-168)*2=1664通り

いろんな方法があるものです ^^

・ミキティさんのもの Orz〜

正方形のマス目と同じように (?) やってみました。
こうやって数えるのがスタンダードなんですね……。
　　　　　　　 Ｑ
　　／￣￣￣￣￣＼
　 |＼＿＿＿＿＿／|
　 | ｜　　　　｜ |
　 | ｜　　　　｜ |
　 | 1664　　1664 |
1680／￣￣￣￣￣＼1664　1680＝168×５か所×２(左右)
　 |＼＿＿＿＿＿／| 　　1664＝168×４か所×２(左右)＋160×１か所×２(左右)
　 | ｜1664　　｜1664
　 | ｜　　　　｜ |
　 | 168　　　168 |
160 ／￣￣￣￣￣＼168　160＝16×５か所×２(左右)
　 |＼＿＿＿＿＿／|　　168＝16×４か所×２(左右)＋20×１か所×２(左右)
　 | ｜168　　 ｜168
　 | ｜　　　　｜ |
　 |　16　　　 16 |
　20／￣￣￣￣￣＼16　20＝２×５か所×２(左右)
　 |＼＿＿＿＿＿／| 　16＝２×４か所×２(左右)＋０×１か所×２(左右)
　 | ｜16　　　｜16
　 | ｜　　　　｜ |
　 |　2　　　　2　|
　Ｐ／￣￣￣￣￣＼2
　　＼＿＿＿＿＿／
　　　2　　　　2

これはわたしのものと同じです〜^^v

等周問題

等周問題とは、、、

『周の長さが一定のとき、面積が最大の図形は何か？』

というもの。

非常にシンプルな問題だけど、、、

http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/henbun.htm

「古代ローマの叙事詩「アエネイス」に次のような物語があります．
『ディドーはフェニキアの王女であったが，弟のピグマリオンが彼女の夫を殺して王位に就いたため，臣下たちとともに脱出，地中海に面したアフリカの地に漂着した．その土地の支配者は，一頭の牛の皮を拡げただけの土地を売ってもよいとしぶしぶ約束した．ディドーはこの条件を最大限に活かすために，牛の皮を細く切り３ミリほどのひもにして，地中海の海岸線から半円を描き土地を囲んだ．こうしてカルタゴが建国され，ディドーはカルタゴの女王になった．』
　
平面凸集合に関して，周の長さＬが一定で面積Ａが最大の図形（面積が一定で周の最小な図形）は円であるという事実はよく知られています．そのことは
　　Ｌ^2≧４πＡ
という不等式（等周不等式）で表現されます．等号は円のときだけ成立します．
　
これは周の長さが一定という付帯条件を課して，面積を最大にするという変分問題の１種であって「等周問題」と呼ばれますが，変分法の起源とみなされている問題で，その答が円であることは古代ギリシアの時代からよく知られています．ところが，厳密な証明が与えられたのは１９世紀になってからのことで，シュタイナーやシュワルツ，フロベニウスによるものなど，いくつかの証明があります．直観に反して，厳密な証明は簡単ではないのです．・・・
変分の問題は，幾何学の問題というよりも，解析学（微分積分学）の問題であって，１８世紀半ばにオイラーとラグランジュによって，汎関数の最大・最小の問題を取り扱うための方法として基礎が固められました．変分は微分のアナローグであり，また，汎関数は関数を変数とする関数のことであって，関数の関数と理解されます．・・・」

ってな感じで、変分法にご登場して頂かなければ解けないようです。。。^^;
そもそも等周不等式自体の由来が分からない。。。^^;;

が、以下のサイトではわたしにも分かり易そうな方法が載っていました。^^v

http://www.page.sannet.ne.jp/ikenoue/type2/milk/tohsyuu/tohsyuu.html　より Orz〜

「先ず、四角形を考える

周の長さを　“L”　とする

２組の辺の長さを x とすると残り２組の辺の長さは ( L/2 - x )

よって面積Ｓは　画像：上

等号成立、つまり面積最大は x = L/4 のとき。これは正方形。

四角形で周長が一定の場合、正方形の面積が最大であることが分かる。

若干 (つーか、かなり)、議論が甘いが以下、正n角形で話を進める。

周長Lの正ｎ角形は 『 ｎ個の底辺の長さが L/n である二等辺三角形』から成る。

各、二等辺三角形の面積は　画像：中上

よって、正ｎ角形の面積は　画像：中中

ここで　π/ｎ = x とすると

画像：中下

従って極限 ｎ → ∞　( ｘ → 0 ) をとると、画像：中最下
これは周長Lの円の面積に同じ。
周長が同じ、正ｎ角形 (ｎ＝3、4、5、…) の面積をグラフ化したのが画像：下
※周長は１で、縦軸が正ｎ角形の面積、横軸が ｎ と見て下さいにょ。　　　　　　　　　　　

ｎが大きくなる程、面積も大きくなり、しかし上に有界なのが何となくわかる。
大雑把に『周が一定なら円に近づくほど面積が大きくなる』ことがわかったワケね。
これはボクが高校三年の頃に暇つぶしでやってたことですケド…。尚、数学的には『円が面積最大の図形となる』ことの厳密な証明はごっつう難しいらしいんだけど、ボクは、詳細は知りません(^^;

でも、まあ、結論は　円が一番大きいの!!!　　」

これで充分証明になってると思いますけどね♪
L が円周とすると2πr なので、L^2/4π=(2πr)^2/4π=πr^2 となり半径 r の周長 L (=2πr) の円の面積 (πr^2) に等しくなるってことですから。。。^^v